基本初等函式:分類方法,冪函式,定義,性質,指數函式,定義,性質,對數函式,定義,

初等函式是由基本初等函式經過有限次的四則運算和複合運算所得到的函式。基本初等函式和初等函式在其定義區間內均為連續函式。不是初等函式的函式，稱為非初等函式，如狄利克雷函式和黎曼函式。目前有兩種分類方法：數學分析有六種基本初等函式，高等數學只有五種。

基本介紹

中文名：基本初等函式
外文名：Basic elementary function
分類：冪函式、指數函式、對數函式等
科目：數學
非初等函式：狄利克雷函式和黎曼函式等
套用領域：高等數學、數學分析等

分類方法,冪函式,定義,性質,指數函式,定義,性質,對數函式,定義,性質,三角函式,反三角函式,常數函式,定義,性質,

分類方法

高等數學將基本初等函式歸為五類：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式。

數學分析將基本初等函式歸為六類：冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式、常數函式。

下面一一介紹這些函式。

冪函式

定義

一般地，形如y=x^α(α為有理數）的函式，即以底數為自變數，冪為因變數，指數為常數的函式稱為冪函式。例如函式y=x⁰ 、y=x¹、y=x²、y=x^-1（註：y=x^-1=1/x y=x⁰時x≠0）等都是冪函式。一般形式如下：

（ α為常數，且可以是自然數、有理數，也可以是任意實數或複數。）

性質

冪函式的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限，至於是否出現在第二、三象限內，要看函式的奇偶性；冪函式的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函式圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點。

冪函式取正值

當α>0時，冪函式y=x^α有下列性質：

a、圖像都經過點（1,1）(0,0）；

b、函式的圖像在區間[0,+∞)上是增函式；

c、在第一象限內，α>1時，導數值逐漸增大；α=1時，導數為常數；0<α<1時，導數值逐漸減小；

冪函式取負值

當α<0時，冪函式y=x^α有下列性質：

a、圖像都通過點（1,1）；

b、圖像在區間（0，+∞）上是減函式；（內容補充：若為X^-2，易得到其為偶函式。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區間（-∞，0）上單調遞增。其餘偶函式亦是如此）

c、在第一象限內，有兩條漸近線（即坐標軸），自變數趨近0，函式值趨近+∞，自變數趨近+∞，函式值趨近0。

冪函式取零

當α=0時，冪函式y=x^a有下列性質：

y=x⁰的圖像是直線y=1去掉一點（0,1）。它的圖像不是直線。

指數函式

定義

指數函式是數學中重要的函式。套用到值e上的這個函式寫為exp(x)。還可以等價的寫為e^x，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。一般形式如下：

（a>0, a≠1）

性質

當a>1時，指數函式對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。當0<a<1時，指數函式對於x的負數值迅速攀升，對於x的正數值非常平坦，在x等於0的時候，y等於1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識得：

作為實數變數x的函式，

的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，儘管它可以無限程度地靠近x軸(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函式是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。

有時，尤其是在科學中，術語指數函式更一般性的用於形如

（k屬於R）的函式，這裡的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函式。

指數函式的一般形式為

(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函式的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a>0且a≠1。

如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。

在函式中可以看到

：

（1）指數函式的定義域為R，這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函式無意義一般也不考慮。

（2）指數函式的值域為

。

（3）函式圖形都是上凹的。

（4） a>1時，則指數函式單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的。

（5）可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（不等於0）函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6）函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。

（7）函式總是通過（0，1）這點,(若

,則函式定過點(0,1+b))

（8）指數函式無界。

（9）指數函式是非奇非偶函式

（10）指數函式具有反函式，其反函式是對數函式，它是一個多值函式。

對數函式

定義

一般地，函式y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做對數函式，也就是說以冪（真數）為自變數，指數為因變數，底數為常量的函式，叫對數函式。

其中x是自變數，函式的定義域是（0，+∞），即x>0。它實際上就是指數函式的反函式，可表示為x=a^y。因此指數函數里對於a的規定，同樣適用於對數函式。一般形式如下：

（a>0, a≠1， x>0,特別當α=e時，記為y=ln x）

性質

定義域求解：對數函式y=log_ax 的定義域是{x 丨x>0}，但如果遇到對數型複合函式的定義域的求解，除了要注意大於0以外，還應注意底數大於0且不等於1，如求函式y=log_x（2x-1）的定義域，需同時滿足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為 {x 丨x>1/2且x≠1}。

值域：實數集R，顯然對數函式無界；

定點：對數函式的函式圖像恆過定點（1，0）；

單調性：a>1時，在定義域上為單調增函式；0<a<1時，在定義域上為單調減函式；

奇偶性：非奇非偶函式

周期性：不是周期函式

零點：x=1

注意：負數和0沒有對數。

兩句經典話：底真同對數正,底真異對數負。解釋如下：

也就是說：若y=log_ab （其中a>0,a≠1，b>0）

當0<a<1, 0<b<1時，y=log_ab>0;

當a>1, b>1時，y=log_ab>0;

當0<a<1, b>1時，y=log_ab<0;

當a>1, 0<b<1時，y=log_ab<0。

三角函式

三角函式是數學中常見的一類關於角度的函式。也就是說以角度為自變數，角度對應任意兩邊的比值為因變數的函式叫三角函式，三角函式將直角三角形的內角和它的兩個邊長度的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函式在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函式也被定義為無窮級限或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。

常見的三角函式包括正弦函式、餘弦函式和正切函式。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函式、正割函式、餘割函式、正矢函式、半正矢函式等其他的三角函式。不同的三角函式之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。

三角函式一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函式為模版，可以定義一類相似的函式，叫做雙曲函式。常見的雙曲函式也被稱為雙曲正弦函式、雙曲餘弦函式等等。三角函式（也叫做圓函式）是角的函式；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他套用中是很重要的。三角函式通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是複數值。

常見三角函式主要有以下 6 種：

正弦函式：y =sinx