實數集

實數集

實數集通俗地認為,通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集,通常用大寫字母R表示。18世紀,微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集並沒有精確的定義。直到1871年,德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。任何一個非空有上界的集合(包含於R)必有上確界

基本介紹

  • 中文名:實數集
  • 外文名:The set of real number
  • 包含:有理數和無理數
  • 代表字母:R
  • 提出者:康托爾(德國)
實數集簡介,加法定理,乘法定理,序公理,完備公理,

實數集簡介

通俗地認為,通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集,通常用大寫字母R表示。
18世紀,微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集並沒有精確的定義。直到1871年,德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的:

加法定理

1.1.對於任意屬於集合R的元素ab,可以定義它們的加法a+b,且a+b屬於R
1.2.加法有恆元0,且a+0=0+a=a(從而存在相反數);
1.3.加法交換律a+b=b+a
1.4.加法有結合律,(a+b)+c=a+(b+c)。

乘法定理

2.1對於任意屬於集合R的元素ab,可以定義它們的乘法a·b,且a·b屬於R
2.2乘法有恆元1,且a·1=1·a=a(從而除0外存在倒數);
2.3乘法有交換律a·b=b·a
2.4乘法有結合律,(a·bc=a·(b·c);
2.5乘法對加法分配率,即a·(b+c)=(b+ca=a·b+a·c

序公理

3.1∀xyRx<yx=yx>y中有且只有一個成立;
3.2若x<y,∀zRx+z<y+z
3.3若x<yz>0,則x·z<y·z
3.4傳遞性:若x<yy<z,則x<z

完備公理

(1)任何一個非空有上界的集合(包含於R)必有上確界
(2)設AB是兩個包含於R的集合,且對任何x屬於Ay屬於B,都有x<y,那么必存在c屬於R,使得對任何x屬於Ay屬於B,都有x<c<y
符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數集,實數集的元素稱為實數

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