基本介紹
- 中文名：正切
- 外文名：tangent(簡寫tan，舊為tg)
- 屬於：三角函式
- 研究學科：數學
- 值域：整個實數集
- 定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
三角函式,相關知識,六種基本函式,同角三角函式,恆等變形公式,倍角公式,三倍角公式,半角公式,降冪公式,萬能公式,積化和差公式,和差化積公式,其他,正切函式圖像的性質,特殊角,正切定理,
三角函式
三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到複數系。
三角函式示意圖
三角函式示意圖三角函式在複數中有較為重要的套用。在物理學中，三角函式也是常用的工具。
在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么角A的對邊與鄰邊的比值隨之確定，這個比叫做角A的正切，記作tanA。
即：tanA=∠A的對邊/∠A的鄰邊。
相關知識
六種基本函式
正弦函式 sinθ=y/r
餘弦函式 cosθ=x/r
正切函式 tanθ=y/x
餘切函式 cotθ=x/y
正割函式 secθ=r/x
餘割函式 cscθ=r/y
同角三角函式
（1）平方關係：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
（2）積的關係：
sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα
（3）倒數關係：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
恆等變形公式
兩角和與差的三角函式：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
降冪公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
積化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
其他
tanA·tanB·tan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
tanA·tanB=1
正切函式圖像的性質
定義域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：R
奇偶性：有，為奇函式
周期性：有
最小正周期：kπ，k∈Z
單調性：有
單調增區間：(-π/2+kπ，+π/2+kπ),k∈Z
單調減區間：無
特殊角
tan15° | 2-√3 |
tan30° | √3/3 |
tan45° | 1 |
tan60° | √3 |
tan75° | 2+√3 |
正切定理
在平面三角形中，正切定理說明任意兩條邊的和除以第一條邊減第二條邊的差所得的商等於這兩條邊的對角的和的一半的正切除以第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。
定義圖