指數函式

基本概念

細胞的分裂是一個很有趣的現象，新細胞產生的速度之快是十分驚人的。例如，某種細胞在分裂時，1個分裂成2個，2個分裂成4個……因此，第x次分裂得到新細胞數y與分裂次數x的函式關係式即為：

。

這個函式便是指函式的形式，且自變數為冪指數，我們下面來研究這樣的函式。

一般地，函式

(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函式，函式的定義域是R。對於一切指數函式來講，值域為(0， +∞)。指數函式中

前面的係數為1。如：

都是指數函式；注意：

指數函式前係數為3，故不是指數函式。

指數函式是數學中重要的函式。套用到值e上的這個函式寫為exp(x)。還可以等價的寫為e^x，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。

當a>1時，指數函式對於x的負數值非常平坦，對於x的正數值迅速攀升，在 x等於0的時候，y等於1。當0<a<1時，指數函式對於x的負數值迅速攀升，對於x的正數值非常平坦，在x等於0的時候，y等於1。在x處的切線的斜率等於此處y的值乘上lna。即由導數知識得：

作為實數變數x的函式，

的圖像總是正的(在x軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，儘管它可以無限程度地靠近x軸(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函式是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。

有時，尤其是在科學中，術語指數函式更一般性的用於形如

（k屬於R）的函式，這裡的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函式。

指數函式的一般形式為

(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函式的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a>0且a≠1。

如圖1所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。

在函式中可以看到

：

（1）指數函式的定義域為R，這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函式無意義一般也不考慮。

（2）指數函式的值域為(0， +∞)。

（3）函式圖形都是上凹的。

（4） a>1時，則指數函式單調遞增；若0<a<1，則為單調遞減的（圖2）。