指數是冪運算an(a≠0)中的一個參數，a為底數，n為指數，指數位於底數的右上角，冪運算表示指數個底數相乘。當n是一個正整數，an表示n個a連乘。當n=0時，an=1。
基本介紹
- 中文名：指數
- 外文名：index
- 歸屬學科：數學
- 基本釋義：冪運算an中的a的次數
- 書寫：指數位於底數的右上角
- 出現在：冪運算;指數函式
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定義
指數是冪運算an(a≠0)中的一個參數，a為底數，n為指數，指數位於底數的右上角。
當指數
時，
當指數
，且n為整數時，
當指數
時，
當指數
時，稱為平方
當指數
時，稱為立方
冪運算
冪運算（指數運算）是一種關於冪的數學運算。同底數冪相乘，底數不變，指數相加；同底數冪相除，底數不變，指數相減。冪的冪，底數不變，指數相乘。下面a≠0。
1）
2）
3）
4）
5）
對數運算
如果
，即
的
次方等於
(
且
)，那么數 叫做以 為底 的對數，記作
指數函式
指數函式圖像如下圖所示
圖1 指數函式圖像故事
複利就是將本金按一定利息存入銀行，到期將利息計入本金繼續存入銀行，本利不斷增加。如果本金為
，年利息率為
，
年後可以從銀行取出的錢為
。一般年利率
不會超過15%，而指數項，即存入銀行的年限
卻增長很快，當 足夠大時，本利相加會達到極其大的值。紐約曼哈頓地區是早期移民以價值200美元的珠寶從印地安人手中買下的，如果當初將200美元存入銀行，至今本息比現在曼哈頓的全部房產價值還要高。如果現在存入銀行1000元，年利率5%，若計複利的話，那么200年後的便可以從銀行取到
元，即
元。
傳說在古印度有位國王要賞賜一位宰相，就問宰相想要什麼，宰相拿出一張西洋棋的棋盤。笑著說，我只求您給我一些麥粒，在第一個格子裡放一粒（
），第二格子裡放兩粒（
），第三個格子裡放四粒（
），也就是第
個格子裡放
粒，直到每個格子的麥粒放好．國王以為這太簡單了，就爽快地答應了。可是等到真要執行這個諾言時國王卻不得不反悔了．這是為什麼呢？西洋棋棋盤共有64個格，按宰相的要求總共需要的麥粒數為等比數列
的和，即為
粒。若1公斤麥粒5萬粒，那么總共需要的麥粒為
噸。這些麥粒也許把全國的麥子全拿來都不夠，國王怎么可能答應呢？
不管是複利的可怕還是宰相的狡猾，都是因為其中含有共同的關鍵因素——指數項
，是指數項 的奇妙作用，使得看似簡單的事情令人吃驚。
發展歷程
指數與冪的概念的形成是相當曲折和緩慢的指數符號( Sign of power) 的種類繁多，且記法多樣化。
我國古代“冪”字至少有十各不同的寫法。
劉徽為《九章算術》作注，在《方田》章求矩形面積法則中寫道：“此積謂田冪，凡廣從相乘謂之冪( 長和寬相乘的積叫作冪) 。”這是第一次在數學文獻上出現冪。
《準南子·天文訓》講到樂律，有這樣幾句話：“故黃鐘之律九寸，而宮音調；因而九之，九九八十一，故黃鐘之有選舉權立焉......十二各以三成，故置一而十一三之，為積分十七萬七千一百四十七，黃鐘大數立焉。”可翻譯如下：發出黃鐘音律的管長 9寸，它的音調叫作宮。用 9 去乘它得81。81 這個數叫作黃鐘數。12 律的每一個是根據三分損益這個原則造成的。所以將 3 乘了11次，得到的積，分管長 177147等份，這177147 叫作黃鐘大數，以別於黃鐘數81。很明顯，“置一而十一三之”就是乘方運算，11 就是現在的指數。整句話包含式子
，具有指數的初步概念。
1607 年，利瑪竇和徐光啟合譯歐幾里得的 《幾何原本》，在譯本中徐光啟重新使用了冪字，並有註解：“自乘之數曰冪。”這是第一次給冪這個概念下定義。
至十七世紀，具有“現代”意義的指數符號才出現。最初的，只是表示未知數之次數，但並無出現未知量符號。比爾吉則把羅馬數字寫於係數數字之上，以表示未知量次數。其後，克卜勒等亦採用了這符號。羅曼斯開始寫出未知量的字母。1631 年，哈里奧特( 1560-1621) 改進了韋達的記法，以 aa表示
, 以aaa 表示
。1636 年，居於巴黎的蘇格蘭人休姆( James Hume) 以小羅馬數字放於字母之右上角的方式表達指數，如以
表示
，該表示方式除了用的是羅馬數字外，已與現在的指數表示法相同。笛卡兒( 1596-1650) 以較小的印度阿拉伯數字放於右上角來表示指數，是現今通用的指數表示法。
