單位圓

單位圓指的是平面直角坐標系上，圓心為原點，半徑為單位長度的圓

基本介紹

• 中文名：單位圓
• 指的是：圓心為原點，半徑為單位長度的圓
• 屬於：數學
• 屬於：物理

定義

如果單位圓上的點 (x, y)位於第一象限，那么x與y是斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊，根據勾股定理，x與y滿足方程：

由於對於所有的x來說x² = (−x)²，並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上，因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

在三角學中，單位圓通常是指歐幾里德平面直角坐標系中圓心為 （0,0）、半徑為 1 的圓。在教科書中，它常常出現在三角函式入門的那幾頁，並且與稱為三角函式線的幾條線段在一起，用於定義或解釋實數的三角函式值。一般地，在複平面內，n 個 n 次的單位根所對應的點正。

數學性質

1. 在複平面（即高斯平面）上，單位圓誘導了著名的歐拉公式和棣莫佛定理。 換句話說， 單位圓上的點表示模長為1的複數， 它誘導了複數的三角形式和指數形式之間的關係。

2. 單位圓上有自然的群結構： 即弧度的加法群結構。 換句話說，就是模長為1的複數集合 上有一個自然的乘法結構。

3. 單位圓誘導了幾何反演變換 ， 這和複變函數論的諸多結論密切相關。

4. 單位圓是最簡單的非單連通 的拓撲空間之一， 常記為S^1. 它的基本群同構於整數群。

5. 單位圓同胚於射影直線， 是拓撲學中最基本的研究對象。這個同胚映射來自於從北極點作的球極投影。

6. 單位圓盤到自身的連續映射一定存在不動點。 這就是著名的布威勞爾不動點定理 。

7. 單位圓的群結構誘導了著名的指數映射 ， 和微分幾何中著名的陳類（也稱陳示性類，因陳省身得名）有著深遠的聯繫。

套用

1. 單位圓廣泛套用於三角函式，對正弦函式，餘弦函式，正切函式等的定義，函式圖像的繪製有重要作用！

2. 定義三角函式線

3. 單位圓套用於檢測心率異常與否的一種圖像標準。