關於三角函式的一些已證明的恆等式。
基本介紹
- 中文名：三角恆等式
- 學科：數學
- 範圍：三角函式
- 套用：不等式的證明
基本定義,誘導公式,基本公式,兩角和差,和差化積,積化和差,倍角公式,半角公式,萬能公式,降冪公式,三角和,冪級數,其他,套用,
基本定義
誘導公式
基本公式
sin（2kπ+α）=sin2kπ cosα+cos2kπ sinα=0*cosα+1*sinα=sinα
cot（2kπ+α）=cotα sec（2kπ+α）=secα csc（2kπ+α）=cscα
sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα
sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα
sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα cos（α-π）=－cosα tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=－cscα
sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα
sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα
cot（π/2+α）=－tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα
sin（π/2－α）=cosα cos（π/2－α）=sinα tan（π/2－α）=cotα
cot（π/2－α）=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα
sin（3π/2+α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα tan（3π/2+α）=cotα
cot（3π/2+α）=tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα
sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2－α）=sinα tan（3π/2－α）=cotα
cot（3π/2－α）=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα
兩角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化積
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
積化和差
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]
cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=((cotα)^3-3cotα)/(3cotα-1)
倍角公式
根據歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
將左邊用二項式定理展開分別整理實部和虛部可以得到下面兩組公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
半角公式
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cotα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
輔助角Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)] Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]
萬能公式
sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)] cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]
降冪公式
(sinα)^2=[1-cos(2α)]/2
(cosα)^2=[1+cos(2α)]/2
(tanα)^2=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
冪級數
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
泰勒展開式又叫冪級數展開法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)
ln(1+x)=x-x2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)
arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示雙階乘
arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)
cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)
arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)
在解初等三角函式時，只需記住公式便可輕鬆作答，在競賽中，往往會用到與圖像結合的方法求三角函式值、三角函式不等式、面積等等。
傅立葉級數
傅立葉級數又稱三角級數
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
記憶口訣
奇變偶不變，符號看象限
其他
設A，B，C是三角形的三個內角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
周氏公式:
sinAsinB+sin(A+B+C)sinC=sin(A+C)sin(B+C)
套用
（一）不等式的證明
已知A，B，C是三角形的三個內角
求證cotA+cotB+cotC>=√3
cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0
(cotA+cotB+cotC)^2>=3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3
所以cotA+cotB+cotC>=√3
