反函式

反函式

一般來說,設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一個函式g(y)在每一處g(y)都等於x,這樣的函式x= g(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式,記作y=f^(-1)(x) 。反函式y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函式就是對數函式與指數函式。

一般地,如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應,y=f(x),則y=f(x)的反函式為x=f (y)或者y=f﹣1(x)。存在反函式(默認為單值函式)的條件是原函式必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。注意:上標"−1"指的並不是冪。

基本介紹

  • 中文名:反函式
  • 外文名:Inverse Function
  • 表達式:y=f ^(-1)(x)
  • 特點:可逆性
  • 適用領域:解析幾何學、代數學
  • 套用學科:數學
定義,存在性,概述,反函式存在定理,性質,反函式的符號,(1)反函式的反函式,(2)反函式的導函式,(3)反函式的複合函式,說明,

定義

設函式y=f(x)的定義域是D,值域是f(D)。如果對於值域f(D)中的每一個y,在D中有且只有一個x使得g(y)=x,則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函式,並把該函式稱為函式y=f(x)的反函式,記為
由該定義可以很快得出函式f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函式f-1的值域和定義域,並且f-1的反函式就是f,也就是說,函式f和f-1互為反函式,即:
反函式與原函式的複合函式等於x,即:
習慣上我們用x來表示自變數,用y來表示因變數,於是函式y=f(x)的反函式通常寫成
例如,函式
的反函式是
相對於反函式y=f-1(x)來說,原來的函式y=f(x)稱為直接函式。反函式和直接函式的圖像關於直線y=x對稱。這是因為,如果設(a,b)是y=f(x)的圖像上任意一點,即b=f(a)。根據反函式的定義,有a=f-1(b),即點(b,a)在反函式y=f-1(x)的圖像上。而點(a,b)和(b,a)關於直線y=x對稱,由(a,b)的任意性可知f和f-1關於y=x對稱。
於是我們可以知道,如果兩個函式的圖像關於y=x對稱,那么這兩個函式互為反函式。這也可以看做是反函式的一個幾何定義。
在微積分里,f (n)(x)是用來指f的n次微分的。
若一函式有反函式,此函式便稱為可逆的(invertible)

存在性

概述

一函式f若要是一明確的反函式,它必須是一雙射函式,即:
  • 單射陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次:不然其反函式將必須將元素映射到超過一個的值上去。
  • 滿射)陪域上的每一元素都必須被f映射到:不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函式。
f為一實變函式,則若f有一明確反函式,它必通過水平線測試,即一放在f圖上的水平線
必對所有實數k,通過且只通過一次。

反函式存在定理

定理:嚴格單調函式必定有嚴格單調的反函式,並且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函式的嚴格單調性。
設y=f(x)的定義域為D,值域為f(D)。如果對D中任意兩點x1和x2,當x1<x2時,有y1<y2,則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增;當x1<x2時,有y1>y2,則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。
證明:設f在D上嚴格單增,對任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由於f的嚴格單增性,對D中任一x'<x,都有y'<y;任一x''>x,都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個,根據反函式的定義,f存在反函式f-1
任取f(D)中的兩點y1和y2,設y1<y2。而因為f存在反函式f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此時x1≥x2,根據f的嚴格單增性,有y1≥y2,這和我們假設的y1<y2矛盾。
因此x1<x2,即當y1<y2時,有f-1(y1)<f-1(y2)。這就證明了反函式f-1也是嚴格單增的。
如果f在D上嚴格單減,證明類似。

性質

(1)函式存在反函式的充要條件是,函式的定義域值域一一映射
函式及其反函式的圖形關於直線y=x對稱函式及其反函式的圖形關於直線y=x對稱
(2)一個函式與它的反函式在相應區間單調性一致;
(3)大部分偶函式不存在反函式(當函式y=f(x), 定義域是{0} 且 f(x)=C (其中C是常數),則函式f(x)是偶函式且有反函式,其反函式的定義域是{C},值域為{0} )。奇函式不一定存在反函式,被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函式。若一個奇函式存在反函式,則它的反函式也是奇函式。
(4)一段連續的函式的單調性在對應區間內具有一致性;
(5)嚴增(減)的函式一定有嚴格增(減)的反函式;
(6)反函式是相互的且具有唯一性;
(7)定義域值域相反對應法則互逆(三反);
(8)反函式的導數關係:如果x=f(y)在開區間I上嚴格單調,可導,且f'(y)≠0,那么它的反函式y=f-1(x)在區間S={x|x=f(y),y∈I }內也可導,且:
(9)y=x的反函式是它本身。

反函式的符號

反函式的符號記為f -1(x),在中國的教材里,反三角函式記為arcsin、arccos等等,但是在歐美一些國家,sinx的反函式記為sin-1(x)。
x-1表示1/x,那么f-1(x)與這是否有些關係呢?下面舉幾個例子來說明這點。當然,f-1(x)肯定和1/f(x)不等,但是確實有與之很相近的性質。

(1)反函式的反函式

為了好看以及對比,我有時會把f(x)寫成f對比,我把我想各位應該很好理解,反函式的反函式當然就是原函式,寫成數學語言就是(f-1)-1=f。看看,這是不是有點像指數的運算法則:1/x-1=x呢?

(2)反函式的導函式

如果函式x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f '(y)不等於零,則它的反函式y=f-1(x)在區間
內也可導,且
用自然語言來說就是,反函式的導數,等於直接函式導數的倒數。這話有點繞,不過應該能讀懂,這個似乎就進一步揭示了反函式符號的意義。
在這裡要說明的是,y=f(x)的反函式應該是x=f-1(y)。只不過在通常的情況下,我們將x寫作y,y寫作x,以符合習慣。所以,雖然反函式和直接函式不互為倒數,但是各自導函式求出後,二者卻是互為倒數。

(3)反函式的複合函式

這個內容屬於高等數學的內容了。大夥想想函數裡面最簡單最基本的函式是什麼函式?不用說,肯定就是我們的恆等函式y=x,這就和我們數字裡面的1一般地位,所以,我們記恆等函式為“1x”。
數字的基本運算就是加減乘除,而函式也有運算,雖然也有加減乘除,但是屬於函式自己的,就是複合與反函式。我們知道在實數里,x與1/x的乘積等於1,在函式的複合運算里,也有類似的性質,函式f和g的複合記為f○g,那么下面的性質成立:f-1○f=1x;1x○f=f○1x=f。
這第一個式子已經說明很多問題。實際上,這些都是屬於高等代數的內容,在每一個封閉的系統里,都有一個“單位1”,都有自己的運算法則,函數裡的就是1x,實數里的就是數字1等等。要深刻理解這些,也只有大家接觸群論以後才會深入理解。這裡也只是做點皮毛而已。我將在後面另起一文,介紹函式的“冪”的概念,就如同數的冪一樣。

說明

(1)在函式x=f -1(y)中,y是自變數,x是函式,但習慣上,我們一般用x表示自變數,用y 表示函式,為此我們常常對調函式x=f -1(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f -1(x),今後凡無特別說明,函式y=f(x)的反函式都採用這種經過改寫的形式。
⑵反函式也是函式,因為它符合函式的定義. 從反函式的定義可知,對於任意一個函式y=f(x)來說,不一定有反函式,若函式y=f(x)有反函式y=f -1(x),那么函式y=f -1(x)的反函式就是y=f(x),這就是說,函式y=f(x)與y=f -1(x)互為反函式。
⑶互為反函式的兩個函式在各自定義域內有相同的單調性。單調函式一定有反函式,如二次函式在R內不是反函式,但在其單調增(減)的定義域內,可以求反函式;另外,反比例函式等函式不單調,也可求反函式。
⑷ 從映射定義可知,函式y=f(x)是定義域A到值域C的映射,而它的反函式y=f -1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函式y=f(x)的定義域正好是它的反函式y=f -1(x)的值域;函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f -1(x)的定義域(如下表):
函式:y=f(x);
反函式:y=f -1(x);
定義域: A,C;
值域: C,A;
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為:
若確定函式y=f(x)的映射f是函式的定義域到值域上的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f -1所確定的函式y=f -1(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式y=f -1(x)的定義域值域分別對應原函式y=f(x)的值域、定義域.。開始的兩個例子:s=vt記為f(t)=vt,則它的反函式就可以寫為f -1(s)=s/v,同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6,則它的反函式為:f -1(x)=x/2-3.
有時是反函式需要進行分類討論,如:f(x)=x+1/x,需將x進行分類討論:在x大於0時的情況,x小於0的情況,多是要注意的。
一般分數函式y=(ax+b)/(cx+d)(其中ad≠bc)的反函式可以表示為y=(b-dx)/(cx-a),這可以通過簡單的四則運算來證明。

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