狄利克雷函式

狄利克雷函式

狄利克雷函式(英語:dirichlet function)是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函式。狄利克雷函式的圖像以Y軸為對稱軸,是一個偶函式,它處處不連續,處處極限不存在,不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函式。

基本介紹

  • 中文名:狄利克雷函式
  • 外文名:Dirichlet function
  • 分類類型:高等數學
  • 相關:黎曼函式
  • 屬於:偶函式
  • 特點:處處不連續
簡介,公式定義,性質分析,函式周期,創始人介紹,

簡介

狄利克雷函式是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函式。狄利克雷函式的圖像以Y軸為對稱軸,是一個偶函式,它處處不連續,處處極限不存在,不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函式。

公式定義

實數域上的狄利克雷Dirichlet函式表示為:
(k,j為整數)也可以簡單地表示分段函式的形式D(x)= 0(x是無理數)或1(x是有理數)

性質分析

基本性質
1、定義域為整個實數域R
2、值域為{0,1}
3、函式為偶函式
4、無法畫出函式圖像,但是它的函式圖像客觀存在
5、以任意正有理數為其周期,無最小正周期(由實數的連續統理論可知其無最小正周期
分析性質
1、處處不連續
2、處處不可導
3、在任何區間內黎曼不可積
4、函式是可測函式
5、在單位區間[0,1]上勒貝格可積,且勒貝格積分值為0(且任意區間<a,b>以及R上甚至任何R的可測子集上(區間不論開閉和是否有限)上的勒貝格積分值為0 )
對性質5的說明:雖然m(R/Q)=+∞,但在R/Q上有f(x)=0,符合可積條件(說明中Q為有理數集)。

函式周期

狄里克雷函式是周期函式,但是卻沒有最小正周期,它的周期是任意負有理數和正有理數。因為不存在最小負有理數和正有理數,所以狄里克萊函式不存在最小正周期。

創始人介紹

狄里克雷(Dirichlet,Peter Gustav Lejeune,1805~1859),德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻,是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫,1859年5月5日卒於哥廷根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆;1822~1826年在巴黎求學,深受J.B.J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院柏林大學任教27年,對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授,1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。
在分析學方面,他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。
在數論方面,他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1833年狄里克雷撰寫了《數論講義》,對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見,使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年,他構造了狄里克雷級數。1838~1839年,他得到確定二次型類數的公式。1846年,使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。
在數學物理方面,他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章,論及著名的第一邊界值問題,現稱狄里克雷問題。
狄利克雷函式的出現.表示數學家“J對數學的理解發生了深刻的變化。數學的一些“人造”特徵開始展現出來這種思想也標誌著數學從研究“算”轉變到了研究“概念、性質、結構”狄利克雷是數學史上第一位重視概念的人。並且是有意識地“以概念代替直覺”的人。在狄利克雷之前,數學家們主要研究具體函式進行具體計算,他們不大考慮抽象問題。但狄利克雷之後,事情逐漸變化了。人們開始考慮函式的各種性質,例如(函式的)對稱性、增減性、連續性等。

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