複合函式

定義

設y是u的函式

，u是x的函式

，如果

的值全部或部分在

的定義域內，則y通過u成為x的函式，記作

，稱為由函式

與

複合而成的複合函式。

如

等都是複合函式。

而

就不是複合函式，因為任何x都不能使y有意義。由此可見，不是任何兩個函式放在一起都能構成一個複合函式。

複合函式通俗地說就是函式套函式，是把幾個簡單的函式複合為一個較為複雜的函式。複合函式中不一定只含有兩個函式，有時可能有兩個以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，則函式y=f{φ[ψ(x)]}是x的複合函式，u、v都是中間變數。

若函式y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則複合函式y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 綜合考慮各部分的x的取值範圍，取他們的交集。

求函式的定義域主要應考慮以下幾點：

⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；

⑵當為偶次根式時，被開方數不小於0（即≥0）；

⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大於0；

⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0（如，中）。

⑸當是由一些基本函式通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變數的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函式的定義域是各段上自變數的取值集合的並集。

⑺由實際問題建立的函式，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變數的要求

⑻對於含參數字母的函式，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要注意函式的定義域為非空集合。

⑼對數函式的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。

⑽三角函式中的切割函式要注意對角變數的限制。

設y=f(u)的最小正周期為T₁,μ=φ(x)的最小正周期為T₂,則y=f(μ)的最小正周期為T₁*T₂，任一周期可表示為k*T₁*T₂(k屬於R₊).

依y=f(u)，μ=φ(x)的單調性來決定。即“增+增=增；減+減=增；增+減=減；減+增=減”，可以簡化為“同增異減”。