餘切

餘切

在直角三角形中,某銳角的相鄰直角邊和相對直角邊的比,叫做該銳角的餘切。餘切與正切互為倒數,用“cot+角度”表示。餘切函式的圖象由一些隔離的分支組成(如圖)。餘切函式是無界函式,可取一切實數值,也是奇函式和周期函式,其最小正周期是π。

基本介紹

  • 中文名:餘切
  • 外文名:Cotangent
  • 簡寫:cot
  • 定義:某銳角的相鄰直角邊和對邊的比
  • 學科分類:數理科學
  • 表示方法:cot+角度
定義,歷史發展,圖像及性質,運算關係,和的關係,積的關係,商的關係,和角公式,餘切序列,

定義

任意角終邊上除頂點外的任一點的橫坐標除以該點的非零縱坐標,角的頂點與平面直角坐標系的原點重合,而該角的始邊則與正x軸重合。簡單點理解:直角三角形任意一銳角的鄰邊和對邊的比,叫做該銳角的餘切。
圖1 餘切的示意圖圖1 餘切的示意圖
餘切表示用“cot+角度”,如:30°的餘切表示為cot 30°;角A的餘切表示為cot A。舊時用ctg A來表示餘切,和cot A是一樣的。假設∠A的對邊為a、鄰邊為b,那么cot A= b/a(即鄰邊比對邊)

歷史發展

敘利亞天文學家、數學家阿爾巴坦尼(850-929)於920年左右,製成了自0到90度相隔1度的餘切表。
14世紀中葉,成吉思汗的後裔,中亞細亞的阿魯伯(1393--1449)組織了大規模的天文觀測和數學用表的計算,他的正弦表精確到小數9位,他還製作了30到45度之間相隔為1",45到90度的相隔為5"7'的正切表。
英國數學家、坎特伯雷大主教布拉瓦丁(1290-1349)首先把正切、餘切引入他的三角計算之中。

圖像及性質

餘切函式的函式圖像如圖2所示,其主要性質如下:
圖2餘切函式圖像圖2餘切函式圖像
(1)定義域:餘切函式的定義域是
(2)值域:餘切函式的值域是實數集R,沒有最大值、最小值;
(3)周期性:餘切函式是周期函式,周期是
(4)奇偶性:餘切函式是奇函式,它的圖象關於原點對稱;
(5)單調性:餘切函式在每一個開區間
上都是減函式。

運算關係

和的關係

積的關係

商的關係

然後由泰勒級數得出

和角公式

餘切序列

“餘切序列”是蝴蝶效應的一個典型例子。以下三個數列每一項都是前一項的餘切,即
;初值分別為1、1.00001、1.0001,但是從第10項開始,三個數列開始形成巨大的分歧。這就是混沌的數列,經過足夠多項後,得到的數字完全可以看作是隨機的,混沌的。
1
1.00001
1.0001
0.642092616
0.642078493
0.641951397
1.337253178
1.337292556
1.337647006
0.237883877
0.237842271
0.237467801
4.124136332
4.124885729
4.131642109
0.667027903
0.66594562
0.656236434
1.269957474
1.272789148
1.29854625
0.310255611
0.30715408
0.279182071
3.119060463
3.152660499
3.488344037
-44.37343796
90.34813006
2.767389601
-2.424894313
-1.056234059
-2.546431398
1.147785023
-0.565363802
1.476981164
0.45018926
-1.576175916
0.094091367
2.069157407
0.005379641
10.5965853
-0.544176342
185.8842166
0.421601998
-1.652562399
1.705748261
2.229677257
0.081948782
-0.135777195
-0.774313338
12.17541547
-7.31969225
-1.02241908
-2.42617226
-0.59169349
-0.610874688
1.150750903
-1.48807061
-1.428119284
0.44662703
-0.082914948
-0.143653138
2.088110796
-12.03290058
-6.913261967
-0.569001376
1.693228262
-1.371305422

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