反正切函式

反正切函式

反正切函式(inverse tangent)是數學術語,反三角函式之一,指函式y=tanx的反函式。計算方法:設兩銳角分別為A,B,則有下列表示:若tanA=1.9/5,則 A=arctan1.9/5;若tanB=5/1.9,則B=arctan5/1.9。如果求具體的角度可以查表或使用計算機計算。

基本介紹

  • 中文名:反正切函式
  • 外文名:inverse tangent
  • 定義:函式y=arctan(x)
  • 定義域:R
  • 單調性增函式
  • 學科:數學
定義,性質,計算,

定義

正切函式y=tanx在開區間(x∈(-π/2,π/2))的反函式,記作y=arctanx 或 y=tan-1x,叫做反正切函式。它表示(-π/2,π/2)上正切值等於 x 的那個唯一確定的角,即tan(arctan x)=x,反正切函式的定義域為R即(-∞,+∞)。反正切函式是反三角函式的一種。
由於正切函式y=tanx在定義域R上不具有一一對應的關係,所以不存在反函式。注意這裡選取是正切函式的一個單調區間。而由於正切函式在開區間(-π/2,π/2)中是單調連續的,因此,反正切函式是存在且唯一確定的。引進多值函式概念後,就可以在正切函式的整個定義域(x∈R,且x≠kπ+π/2,k∈Z)上來考慮它的反函式,這時的反正切函式是多值的,記為 y=Arctan x,定義域是(-∞,+∞),值域是 y∈R,y≠kπ+π/2,k∈Z。於是,把 y=arctan x (x∈(-∞,+∞),y∈(-π/2,π/2))稱為反正切函式的主值,而把 y=Arctan x=kπ+arctan x (x∈R,y∈R,y≠kπ+π/2,k∈Z)稱為反正切函式的通值。反正切函式在(-∞,+∞)上的圖像可由區間(-π/2,π/2)上的正切曲線作關於直線 y=x 的對稱變換而得到,如圖所示。
反正切函式
反正切函式的大致圖像如圖所示,顯然與函式y=tanx,(x∈R)關於直線y=x對稱,且漸近線為y=π/2和y=-π/2。

性質

值 域:(-π/2,π/2)
奇偶性:奇函式
周期性:不是周期函式
單調性:(-∞,﹢∞)單調遞增

計算

相關計算公式如下:
反三角函式在無窮小替換公式中的套用:當x→0時,arctanx~x。

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