非負整數:定義,符號,分類,奇偶性,因數個數,性質,運算,帶餘除法,序,無限性,自

自然數（natural number），是非負（目前課本中已將0列為自然數）/正整數（1, 2, 3, 4……）。

自然數通常有兩個作用：可以被用來計數（如“有七個蘋果”），參閱基數；也可用於排序（如“這是國內第三大城市”），參閱序數。

自然數組成的集合是一個可數的，無上界的無窮集合。數學家一般以N來表示它。（以N*表示除0之外的自然數）自然數集上有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數。也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。

自然數是人們認識的數系中最基本的一類。為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了關於自然數的兩種理論：自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。自然數的加法、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。

在全球範圍內，目前針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。在中國大陸，2000年左右之前的中國小教材一般不將0列入自然數之內，或稱其屬於“擴大的自然數列”。在2000年左右之後的新版中國小教材中，普遍將0列入自然數。

基本介紹

中文名：非負整數
外文名：nonnegative integer
分類：奇偶性、因數個數
性質：運算、帶餘除法等
別稱：自然數

定義,符號,分類,奇偶性,因數個數,性質,運算,帶餘除法,序,無限性,自然數列,歷史,爭論,

定義

為了給出自然數的嚴格定義，皮亞諾採用序數理論提出自然數的5條公理，被稱為皮亞諾公理。這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

1是自然數；
每一個確定的自然數n都有一個確定的後繼者，記作n+1。n+1也是自然數；
如果m、n都是自然數，並且m+1 = n+1，那么m = n；
1不是任何自然數的後繼者；
如果某個集合S具有性質：

1在S中；
若n在S中，則n+1也在S中。

那么S=N。（公理5保證了數學歸納法的正確性，從而被稱為歸納法原理）

若將0也視作自然數，則第一條公理中的1要換成0，並且刪除第4條。

第五條是歸納公理，它確保了在自然數集中數學歸納法的成立，也是對自然數集形態的一種限定。因為即使是有限集，也存在環形映射滿足第二條（自單射）。而只有自然數集才能滿足所有這五條的限定。

戴德金-皮亞諾結構

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組（X,x,f）：

X是一集合，x為X中一元素，f是X到自身的映射。
x不在f的值域內。（對應上面"定義"一節的公理4）
f為一單射。（對應上面的公理3）
若A為X的子集並滿足：
x屬於A；
若a屬於A，則f（a）亦屬於A

則A=X。

集合論形式的構造

一個標準的構造方法如下：

定義

，

代表空集。

然後對於任何集合a，設

。S(a)稱為a的後繼，S相當於後繼函式。

根據無窮性公理，自然數集存在。考慮所有包含0且在S之下封閉的集合，然後取它們的交集就得到了自然數集。可以驗證這些集合是符合皮亞諾公理的。

如此，每個自然數都等同於由所有更小的自然數所組成的集合，即

在此定義下，在集合n內就有n個元素；而若n小於m，則n會是m的子集。

符號

數學家們使用 N 或

來表示所有自然數的集合。

為了明確的表示不包含0，正整數集合一般如下表示：

N⁺ 或 N* 或

Z⁺ 或

而非負整數集合一般如下表示：

N⁰ 或

或

集合論者也通常把包括0的自然數集記作希臘字母的ω（小寫的歐米伽），因為第一個無窮序數便是ω。

性質

運算

對自然數可以遞歸定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：

a + 0 = a；

a + S(x) = S(a+x)，其中，S(x)表示x的後繼者。

如果我們將S(0)定義為符號“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。

如此，便可得出交換么半群(N,+)，是由1生出的自由么半群，其中麼元為0。此么半群服從消去律，可嵌入一群內：最小的是整數群。

同理，乘法運算“×”定義為：

a × 0 = 0；

a × S(b) = a × b + a

(N,×)亦是交換么半群；

×和+符合分配律：

自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。

帶餘除法

對於兩個自然數a,b，不一定有自然數c使得

。所以若用乘法的逆來定義除法，這個除法不能成為一個二元運算（即不符合封閉性，即使不允許除以0）。但我們可以用帶餘除法作為替代。

現設a,b為自然數，

，則有自然數q和r使得a=bq+r且r<b。這裡的q稱為a除以b的商，r稱為a除以b的餘數。數對(q,r)是被a,b所唯一決定的。

一個例子是

，也就是

。這裡a=62，b=7，q=8，r=6。

帶餘除法在數論中有不少用途，比如說輾轉相除法的基本步驟就是帶餘除法。

序

我們說

若且唯若有自然數使得

。當

而a不等於b時，記作a<b。

二元關係

在自然數集上符合：

自反性：若a是自然數，則

；

反對稱性：設a,b是自然數。若

且

，則a=b；

傳遞性：設a,b,c都是自然數。若

且

，則

；

完全性：對於任意兩個自然數a,b，有且只有下列兩種關係之一：

或

。

（或者等價的三分性：a<b，a=b，或a>b）

因為符合以上的四種性質，所以

是一全序。

事實上，

是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數。此亦是最小數原理的陳述。

此序也和加法及乘法兼容，即若a,b,c都是自然數且

，則

及

。

無限性

自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。

對於無限集合來說，“元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素的多少只適用於有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對於有限集合顯然是適用的，現推廣到無限集合，即如果兩個無限集合之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對於無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合等勢，或者說，這兩個集合的基數相同。自然數集的基數是阿列夫零，記作

。

與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可能與自身的真子集有一一對應的關係，例如:

0 1 2 3 4 … （自然數集）

↕ ↕ ↕ ↕ ↕

1 3 5 7 9 …（奇數組成的集合）

這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。

和自然數集等勢的集合有：

由自然數的有限序列組成的集合
整數集
有理數集
代數數集
可數個可數集合的並集

自然數集的勢嚴格小於實數集的勢，即兩者間不能建立一一對應（詳見對角論證法）。事實上，實數集的勢是

，即自然數集的冪集的勢。

自然數列

數列0,1,2,3,4,5,…n,... 稱為自然數列（OEIS中的數列A000027）。

自然數列的通項公式a_n=n。

自然數列的前n項和S_n=n(n+1)/2。 S_n=na₁+n(n-1)/2

自然數列本質上是一個等差數列，首項a₁=1，公差d=1。

歷史

自然數由數數而起。自然數最初的表示法是用一個符號代表每個物體，比如||||可以用來代表四個蘋果、或者四塊石頭、或者四頭牛。這種表示方法在古巴比倫（約公元前2000年）的記數法中有所體現。

其後記數系統的創立，使得人們能以更少的符號去表示大數。巴比倫人便是使用六十進制的，比如數字75，他們便會以“1，15”表示（當然是用他們的符號）。但如果觀察一下他們所使用的1至59的數，就會發現當中也有十進制的影子。古埃及人也建立了十進制的記數系統，包括個位、十位…直至一百萬。

之後進一步的發展是把0視為一個數的想法。由考古成果，我們已知約在公元前700年，巴比倫人就已經使用類近“0”的數字作為占位符，但當0是最後一個數位時，他們會省去不記。

印度學者婆羅摩笈多於公元628年提出零的觀念，一般認為是首個接近現代意義上的0。印度數字後來經阿拉伯人傳至歐洲。歐洲人起初仍對零作為數字感到抗拒，認為零不是一個“自然”數。認為自然數不包含零的其中一個理由是因為人們在開始學習數字的時候是由“一、二、三...”開始，而不是由“零、一、二、三...”開始, 因為這樣是很不自然的。

在中國古代也有0這個概念，但並沒有0這個阿拉伯數字的字樣，而是以空位表示。中國古代使用算籌進行計算，在算盤上，以空位表示0。公元1世紀的《九章算術》說：“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。”（這段話的大意是“減法：遇到同符號數字應相減其數值，遇到異符號數字應相加其數值，零減正數的差是負數，零減負數的差是正數。”）以上文字里的“無入”通常被數學史家認為是零的概念。雖然如此，但是當時並沒有使用符號來表示零。