有理數集

有理數集，即由所有有理數所構成的集合，用黑體字母Q表示。有理數集是實數集的子集

有理數集是一個無窮集，不存在最大值或最小值。

基本介紹

• 中文名：有理數集
• 外文名：the set of all rational numbers
• 含義：全體有理數構成的集合
• 表示方法：大寫字母Q：Q
• 所屬：數系的擴張

定義

有理數集是實數集的子集。相關的內容見數系的擴張。

縮寫由來

有理數集的Q是英語/德語中Quotient（商）的首字母，因為有理數都可以寫成兩

個整數的商。

運算

有理數集是一個域，即在其中可進行四則運算（0作除數除外），而且對於這些運算，以下的運算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數）：

1. 加法的交換律：【a+b=b+a】
   
2. 加法的結合律：【a+(b+c)=(a+b)+c】
   
3. 存在加法的單位元0，使【0+a=a+0=a】
   
4. 對任意有理數a，存在一個加法逆元，記作-a，使【a+(-a)=(-a)+a=0】
   
5. 乘法的交換律：【ab=ba】
   
6. 乘法的結合律；【a·(b·c)=(a·b)·c】
   
7. 乘法的分配律：【a(b+c)=ab+ac】
   
8. 存在乘法的單位元1，使得對任意有理數a，有【1×a=a×1=a】
   
9. 對於不為0的有理數a，存在乘法逆元1/a，使【1/a×a=a×1/a=1】
   
10. 【0a=0】說明：一個數乘0還等於0。
    

此外，有理數是一個序域，即在其上存在一個次序關係：≤

集合關係

由於有理數集中所有元素均為有理數，因此可得：

• 整數集、分數集、小數集、自然數集，都是有理數集的一個子集
  即：有理數包含整數、分數、小數、自然數等（不考慮重複列舉關係）
  
• 有理數集是實數集的一個子集，也是複數集的一個子集
  即：有理數是實數（或複數）的一部分