良序集

良序的定義

在數學中，集合S上的良序關係（或良序）需要滿足：1.是在S上的全序關係2.S的所有非空子集在這個次序下都存在最小元素。等價的說，良序是良基的線序。集合S和這個良序關係一起就叫做良序集合。

粗略的說，良序集合的排序方式，使得我們可以逐次考慮一個它的元素，而在還沒有檢視完所有的元素的任何時候，總是有一個唯一的下一個元素可考慮。

1、自然數集在通常序下是良序集。

2、整數集在通常序下不是良序集，例如該集合本身就沒有一個最小元素。

3、整數的下列關係R是良序的：x R y，若且唯若下列條件之一成立：

x=0；

x是正數，而y是負數；

x和y都是正數，而x≤y；

x和y都是負數，而y≤x。

這個序關係可以表示為：

0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……

4、實數集在通常序下不是良序集。

在良序集合中，除了整體上最大的那個，所有的元素都有一個唯一的後繼元：比它大的最小的元素。但是，不是所有元素都需要有前驅元。作為例子，考慮自然數的一個次序，這裡的所有偶數都小於所有奇數，並在偶數和奇數內套用正常的次序。

這是個良序集合併被指示為ω+ω。注意儘管所有元素都有後繼元（這裡沒有最大元素），有兩個元素缺乏前驅元：零和一。

如果一個集合可被良序化，超限歸納法證明技術可以用來證明給定陳述對於這個集合的所有元素為真。

良序定理，等價於選擇公理，聲稱所有集合都可以被良序排序。良序定理還等價於拉托夫斯基-佐恩引理。

對全序集(S,≤)，下列命題是等價的：

（1）(S,≤)是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。

（2）超限歸納法在整個全序集(S,≤)上成立。

（3）(S,≤)上的所有嚴格遞減序列必定在有限多步驟內終止（假定依賴選擇公理）。

證明：使用循環證明法。

（1）→（2）：反設超限歸納法在(S,≤)上不成立，則存在一個性質φ，使得對S中任意元素x，只要φ對S中小於x的任何元素都成立，那么φ對x也成立，然而φ並非對S中所有元素都成立，即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集，則A在序關係≤下不可能有最小元素，否則該最小元素應滿足φ，矛盾。

（2）→（3）：對序列的首項使用超限歸納法，則結論是顯然的。

（3）→（1）（依賴選擇公理）：對S的任一非空子集A，用選擇公理每次從A中選出一個元素，使得從第二次開始每次選出的元素都比前一次的小，則選出的所有元素構成一嚴格遞減序列，該序列必定在有限步內終止，但序列終止的唯一可能是選出了一個元素x使得A中沒有比x小的元素，從而x是A中的最小元素。