數系

數系

數,是數學中的基本概念,也是人類文明的重要組成部分。數的概念的每一次擴充都標誌著數學的巨大飛躍。一個時代人們對於數的認識與套用,以及數系理論的完善程度,反映了當時數學發展的水平。今天,我們所套用的數系,已經構造的如此完備和縝密,以致於在科學技術和社會生活的一切領域中,它都成為基本的語言和不可或缺的工具。最早發展的一類數系應該是簡單分群數系(simple grouping system),如在公元前3400年埃及象形文字中就有實例,它是10進位的,但卻不是未知的。在公元前3000到2000年之間,巴比倫人發展了60進位的定位數系(positional numeral system),它採用了位置制,卻不是10進位的。而最重要和最美妙的記數法則是10進位位置制記數法。

基本介紹

  • 中文名:數系
  • 外文名:numerical system
  • 分類:數學
  • 最初:簡單分群數系
  • 地區:巴比倫人
  • 功能:反應當前數學發展水平
記數法,簡單分群數系,位置制記數法,“零”,大數記法,遇到難題,《數術記遺》中的“大數之法”,“大數之法”的數學意義,有理數系,分數,負數,實數理論的完善,無理數的發現,無理根數,微積分,無理數的定義,三大派理論,建立實數的目的,複數的擴張,虛數的開始,虛數的發展,虛數與向量,複數a+ bi,綜述,

記數法

人類在進化的蒙昧時期,就具有了一種“識數”的才能,心理學家稱這種才能為“數覺”(perception of number)。動物行為學家則認為,這種“數覺”並非為人類所獨有。人類智慧的卓越之處在於他們發明了種種記數方法。《周易·繫辭下》記載“上古結繩而治,後世聖人,易之以書契”。東漢鄭玄稱:“事大,大結其繩;事小,小結其繩。結之多少,隨物眾寡”。以結繩和書契記數的方法實際上遍及世界各地,如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、伊斯蘭和中美洲國家都有文獻記載和實物標本。直到1826年,英國財政部才決定停止採用符契作為法定記數器。隨著人類社會的進步,數的語言也在不斷發展和完善。數系發展的第一個里程碑出現了:位置制記數法。所謂位置制記數法,就是運用少量的符號,通過它們不同個數的排列,以表示不同的數。引起歷史學家、數學史家興趣的是,在自然環境和社會條件影響下,不同的文明創造了迥然不同的記數方法。如巴比倫的楔形數字系統、埃及象形數字系統、希臘人字母數字系統、瑪雅數字系統、印度—阿拉伯數字系統和中國的算籌記數系統。

簡單分群數系

最早發展的一類數系應該是簡單分群數系(simple grouping system),如在公元前3400年埃及象形文字中就有實例,它是10進的,但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間,巴比倫人發展了60進位的定位數系(positional numeral system),它採用了位置制,卻不是10進的。而最重要和最美妙的記數法則是10進位位置制記數法。

位置制記數法

法國著名數學家拉普拉斯(Laplace,1749 – 1827)曾經寫道:
用十個記號來表示一切的數,每個記號不但有絕對的值,而且有位置的值,這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想,它今天看來如此簡單,以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便,才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位;而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時,我們更感到這成就的偉大了。
拉普拉斯的這段評論十分精彩,只可惜他張冠李戴,把這項發明歸之於印度。現已有充分而確鑿的史料證明,10進位位置制記數法最先產生於中國。這一點也為西方的一些數學史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方後來所習見的‘印度數字’的背後,位置制已在中國存在了兩千年。”不過,10進位位置制記數法的產生不能單純地歸結為天才的智慧。記數法的進步是與計算工具的改進相聯繫的。研究表明,10進位位置制記數之產生於中國,是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。

“零”

“0”作為記數法中的空位,在位置制記數的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國籌算記數法,都是留出空位而沒有符號。印度人起初也是用空位表示零,後來記成點號“· ”,最後發展為圈號。印度數碼在公元8世紀傳入阿拉伯國家。13世紀初,義大利的商人斐波那契(Leonado Fibonacci, 1175 - 1250)編著《算經》(Liber Abacci,1202),把包括零號在內完整的印度數碼介紹到了歐洲。印度數碼和10進位位置制記數法被歐洲人普遍接受後,在歐洲的科學和文明的進步中扮演了重要的角色。

大數記法

遇到難題

古代希臘人曾經提出一個問題:他們認為世界上的沙子是無窮的,即使不是無窮,也沒有一個可以寫出來的數超過沙子的數。阿基米德(Archimedes,BC287 - 212)的回答是:不。在《數沙術》中,阿基米德以萬(myriad)為基礎,建立新的記數法,使得任何大的數都能表示出來。他的做法是:從1起到1億(原文是萬萬,myriad myriads, 這裡按照中文的習慣改稱為億)叫做第1級數;以億(10)為第2 級數的單位,從億到億億(10)²叫做第2級數;在以億億為單位,直到億億億(10)³叫做第3級數。直到第1億級數的最後一數億億 。阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數目不過是10,即使擴充到“恆星宇宙”,即以太陽到恆星的距離為半徑的天球,也不過只能容納10個沙粒!

《數術記遺》中的“大數之法”

同樣的問題也出現在中國古代。漢代以前,數皆10進,以10萬位億。韋昭解《國語·鄭語》第十六:“計億事,材兆物,收經入,行垓極”。注稱“計,算也;材,裁也。賈唐說皆以萬萬為億,鄭後司農云:十萬曰億,十億曰兆,從古數也。”《數術記遺》中則詳細記載了對大數的一整套命名和三種進位方法。《數術記遺》稱:
黃帝為法,數有十等,及其用也,乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載;三等者,謂上、中、下也。其下數者。十十變之,若言十萬曰億,十億曰兆,十兆曰京也。中數者,萬萬變之,若言萬萬曰億、萬萬億曰兆,萬萬兆曰京。上數者,數窮則變,若言萬萬曰億,億億曰兆,兆兆曰京也。從億至載,終於大衍。

“大數之法”的數學意義

《數術記遺》中的“大數之法”的數學意義並不僅僅在於它構造了三種記數方法,更為重要的是它揭示了人們對數的認識從有限走向無限的艱難歷程。客觀的需要和數學的發展都促使人們去認識和把握越來越大的數。起初,對一些較大的數,人們還可以理解它,還能夠利用已有的記數單位去表示它。但是,隨著人們認識的發展,這些大數也在迅速的擴張,原有的記數單位難以為用。人們不禁要問:
數有窮乎?
這是數系發展中的需要回答的重大命題。《數術記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對話,精彩的闡明了“數窮則變”的深刻道理:
徐岳問曰:數有窮乎?
會稽(劉洪)答曰:吾曾游天目山中,見有隱者,世莫知其名,號曰天目先生,余亦以此意問之。先生曰:世人言三不能比兩,乃雲捐悶與四維。數不識三,妄談知十。不辨積微之為量,詎曉百億於大千?黃帝為法,數有十等。……從億至載,終於大衍。
會稽問曰:先生之言,上數者數窮則變,既雲終於大衍,大衍有限,此何得無窮?
先生答曰:數之為用,言重則變,以小兼大,又加循環。循環之理,且有窮乎!
天目先生的做法是藉助“以小兼大”的“循環之理”,以有限來認識無限,而指引這一途徑的重要思想是“言重則變”。即便是今日,“數窮則變”這一樸素的辯證思維所蘊涵的深邃哲理仍值得人們深思。

有理數系

位置制記數法的出現,標誌著人類掌握的數的語言,已從少量的文字個體,發展到了一個具有完善運算規則的數系。人類第一個認識的數系,就是常說的“自然數系”。但是,隨著人類認識的發展,自然數系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先,自然數系是一個離散的、而不是稠密的數系[2] ,因此,作為量的表征,它只能限於去表示一個單位量的整數倍,而無法表示它的部分。同時,作為運算的手段,在自然數系中只能施行加法和乘法,而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷,由於分數和負數的出現而得以彌補。

分數

有趣的是這些分數也都帶有強烈的地域特徵。巴比倫的分數是60進位的,埃及採用的是單分數(unit fraction),阿拉伯的分數更加複雜:單分數、主分數和複合分數。這種繁複的分數表示必然導致分數運算方法的繁雜,所以歐洲分數理論長期停滯不前,直到15世紀以後才逐步形成現代的分數算法。與之形成鮮明對照的是中國古代在分數理論上的卓越貢獻。
原始的分數概念來源於對量的分割。如《說文·八部》對“分”的解釋:“分,別也。從八從刀,刀以分別物也。”但是,《九章算術》中的分數是從除法運算引入的。其“合分術”有云:“實如法而一。不滿法者,以法命之。”這句話的今譯是:被除數除以除數。如果不能除盡,便定義了一個分數。中國古代分數理論的高明之處是它藉助於“齊同術”把握住了分數算法的精髓:通分劉徽在《九章算術注》中所言:
眾分錯雜,非細不會。乘而散之,所以通之。通之則可並也。凡母互乘子謂之齊,群母相乘謂之同。同者,相與通同共一母也。齊者,子與母齊,勢不可失本數也。
有了齊同術,就可將分數化異類為同類,變相違為相通。劉徽深得其中奧秘,稱:“然則齊同之術要矣。錯綜度數,動之斯諧,其猶佩觹解結,無往而不理焉。乘以散之,約以聚之,齊同以通之,此其算之綱紀乎。”
容易證明,分數系是一個稠密的數系,它對於加、乘、除三種運算是封閉的。為了使得減法運算在數系內也同行無阻,負數的出現就是必然的了。盈餘與不足、收入與支出、增加與減少是負數概念在生活中的實例,教科書在向學生講授負數是也多循此途。這就產生一種誤解:似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認識而引進了負數的。歷史的事實表明:負數之所以最早為中算家所引進,這是由中國古代傳統數學中,算法高度發達和籌算機械化的特點所決定的。負數的概念和算法首先出現在《九章算術》“方程”章,因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時,就必須引入負數和建立正負數的運算法則。劉徽的注釋深刻的闡明了這點:
今兩算得失相反,要令正負以名之。正算赤,負算黑,否則以斜正為異。方程自有赤黑相取,左右數相推求之術。而其並減之勢不得廣通,故使赤黑相消奪之。……故赤黑相雜足以定上下之程,減益雖殊足以通左右之數,差實雖分足以應同異之率。然則其正無入負之,負無入正之,其率不妄也。

負數

負數雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲,但16世紀和17世紀的大多數數學家並不承認它們是數,或者即使承認了也並不認為它們是方程的根。如丘凱(Nicolas Chuquet ,1445-1500)和斯蒂費爾(Stifel ,1486-1567) 都把負數說成是荒謬的數,是“無稽之零下”。卡丹(Cardan,1501- 1576) 把負數作為方程的根,但認為它們是不可能的解,僅僅是一些記號;他把負根稱作是虛有的。韋達(Vieta, 1540- 1630) 完全不要負數,巴斯卡(Pascal,1623- 1662) 則認為從0減去4純粹是胡說。
負數是人類第一次越過正數域的範圍,前此種種的經驗,在負數面前全然無用。在數系發展的歷史進程中,現實經驗有時不僅無用,反而會成為一種阻礙。我們將會看到,負數並不是惟一的例子。

實數理論的完善

無理數的發現

無理數的發現,擊碎了Pythagoras學派“萬物皆數”的美夢。同時暴露出有理數系的缺陷:一條直線上的有理數儘管是“稠密”,但是它卻漏出了許多“孔隙”,而且這種“孔隙”多的“不可勝數”。這樣,古希臘人把有理數視為是連續銜接的那種算術連續統的構想,就徹底的破滅了。它的破滅,在以後兩千多年時間內,對數學的發展,起到了深遠的影響。不可通約的本質是什麼?長期以來眾說紛紜。兩個不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋,而被認為是不可理喻的數。15世紀達文西(Leonardo da Vinci, 1452- 1519) 把它們稱為是“無理的數”(irrational number),克卜勒(J. Kepler, 1571- 1630)稱它們是“不可名狀”的數。這些“無理”而又“不可名狀”的數,找到雖然在後來的運算中漸漸被使用,但是它們究竟是不是實實在在的數,卻一直是個困擾人的問題。

無理根數

中國古代數學在處理開方問題時,也不可避免地碰到無理根數。對於這種“開之不盡”的數,《九章算術》直截了當地“以面命之”予以接受,劉徽注釋中的“求其微數”,實際上是用10進小數來無限逼近無理數。這本是一條完成實數系統的正確道路,只是劉徽的思想遠遠超越了他的時代,而未能引起後人的重視。不過,中國傳統數學關注的是數量的計算,對數的本質並沒有太大的興趣。(李)而善於究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能克服它,那就只好迴避它。此後的希臘數學家,如歐多克斯(Eudoxus)、歐幾里得(Euclid)在他們的幾何學裡,都嚴格避免把數與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論(見《幾何原本》第5卷),使幾何學在邏輯上繞過了不可公度的障礙,但就在這以後的漫長時期中,形成了幾何與算術的顯著分離。

微積分

17、18世紀微積分的發展幾乎吸引了所有數學家的注意力,恰恰是人們對微積分基礎的關注,使得實數域的連續性問題再次突顯出來。因為,微積分是建立在極限運算基礎上的變數數學,而極限運算,需要一個封閉的數域。無理數正是實數域連續性的關鍵。

無理數的定義

無理數指的是無限不循環小數

三大派理論

變數數學獨立建造完備數域的歷史任務,終於在19世紀後半葉,由維爾斯特拉斯(Weierstrass,1815- 1897)、戴德金(R.Dedekind1831- 1916)、康托(G.Cantor,1845- 1918)等人加以完成了。
1872年,是近代數學史上最值得紀念的一年。這一年,克萊因(F.Kline,1849- 1925)提出了著名的“埃爾朗根綱領”(Erlanger Programm),維爾斯特拉斯給出了處處連續但處處不可微函式的著名例子。也正是在這一年,實數的三大派理論:戴德金“分割”理論;康托的“基本序列”理論,以及維爾斯特拉斯的“有界單調序列”理論,同時在德國出現了。

建立實數的目的

努力建立實數的目的,是為了給出一個形式化的邏輯定義,它既不依賴幾何的含義,又避免用極限來定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎,微積分中關於極限的基本定理的推導,才不會有理論上的循環。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來,免去任何與感性認識聯繫的性質。幾何概念是不能給出充分明白和精確的,這在微積分發展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此,必要的嚴格性只有通過數的概念,並且在割斷數的概念與幾何量觀念的聯繫之後才能完全達到。這裡,戴德金的工作受到了崇高的評價,這是因為,由“戴德金分割”定義的實數,是完全不依賴於空間與時間直觀的人類智慧的創造物。
實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義,從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功,使得兩千多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平,無理數不再是“無理的數”了,古希臘人的算術連續統一的構想,也終於在嚴格的科學意義下得以實現。

複數的擴張

複數概念的進化是數學史中最奇特的一章,那就是數系的歷史發展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續性。人們沒有等待實數的邏輯基礎建立之後,才去嘗試新的征程。在數系擴張的歷史過程中,往往許多中間地帶尚未得到完全認識,而天才的直覺隨著勇敢者的步伐已經到達了遙遠的前哨陣地。

虛數的開始

1545年,此時的歐洲人尚未完全理解負數、無理數,然而他們智力又面臨一個新的“怪物”的挑戰。例如卡丹在所著《重要的藝術》(1545)中提出一個問題:把10分成兩部分,使其乘積為40。這需要解方程x (10-x) = 40,他求得的根是5-√-15 和5+√-15 ,然後說“不管會受到多大的良心責備,”把5-√-15 和 5+√-15相乘,得到25-(-15)= 40。於是他說,“算術就是這樣神妙地搞下去,它的目標,正如常言所說,是有精緻又不中用的。”笛卡爾(Descartes,1596-1650)也拋棄復根,並造出了“虛數”(imaginary number)這個名稱。對複數的模糊認識,萊布尼茲(Leibniz,1646- 1716)的說法最有代表性:“聖靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示,這就是那個理想世界的端兆,那個介於存在與不存在之間的兩棲物,那個我們稱之為虛的—1的平方根。”

虛數的發展

直到18世紀,數學家們對複數才稍稍建立了一些信心。因為,不管什麼地方,在數學的推理中間步驟中用了複數,結果都被證明是正確的。特別是1799年,高斯(Gauss,1777- 1855)關於“代數基本定理”的證明必須依賴對複數的承認,從而使複數的地位得到了近一步的鞏固。當然,這並不是說人們對“複數”的顧慮完全消除了。甚至在1831年,棣莫甘(De Morgan,1806- 1871) 在他的著作《論數學的研究和困難》中依然認為:
已經證明了記號 是沒有意義的,或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而,通過這些記號,代數中極其有用的一部分便建立起來的,它依賴於一件必須用經驗來檢驗的事實,即代數的一般規則可以套用於這些式子(複數)。……
我們知道,18世紀是數學史上的“英雄世紀”,人們的熱情是如何發揮微積分的威力,去擴大數學的領地,沒有人會對實數系和複數系的邏輯基礎而操心。既然複數至少在運算法則上還是直觀可靠的,那又何必去自找麻煩呢?

虛數與向量

1797年,挪威的韋塞爾(C. Wessel,1745-1818) 寫了一篇論文“關於方向的分析表示”,試圖利用向量來表示複數,遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文後,才被人們重視。瑞士人阿甘達(J. Argand ,1768-1822) 給出複數的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負數是正數的一個擴張,它是將方向和大小結合起來得出的,他的思路是:能否利用新增添某種新的概念來擴張實數系?在使人們接受複數方面,高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為複平面上的一點 ( a, b),而且闡述了複數的幾何加法和乘法。他還說,如果1, —1 和 原來不稱為正、負和虛單位,而稱為直、反和側單位,那么人們對這些數就可能不會產生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數真正有一個新的看法,他引進術語“複數”(complex number)以與虛數相對立,並用 i 代替 。

複數a+ bi

在澄清複數概念的工作中,愛爾蘭數學家哈米爾頓(Hamilton,1805 – 1865) 是非常重要的。哈米爾頓所關心的是算術的邏輯,並不滿足於幾何直觀。他指出:複數a+ bi 不是 2 + 3意義上的一個真正的和,加號的使用是歷史的偶然,而 bi 不能加到a 上去。複數a+ bi 只不過是實數的有序數對(a,b),並給出了有序數對的四則運算,同時,這些運算滿足結合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下,不僅複數被邏輯地建立在實數的基礎上,而且至今還有點神秘的 也完全消除了。

綜述

回顧數系的歷史發展,似乎給人這樣一種印象:數系的每一次擴充,都是在舊的數系中添加新的元素。如分數添加於整數,負數添加於正數無理數添加於有理數,複數添加於實數。但是,現代數學的觀點認為:數系的擴張,並不是在舊的數系中添加新元素,而是在舊的數系之外去構造一個新的代數系,其元素在形式上與舊的可以完全不同,但是,它包含一個與舊代數系同構的子集,這種同構必然保持新舊代數系之間具有完全相同的代數構造。當人們澄清了複數的概念後,新的問題是:是否還能在保持複數基本性質的條件下對複數進行新的擴張呢?答案是否定的。當哈米爾頓試圖尋找三維空間複數的類似物時,他發現自己被迫要做兩個讓步:第一,他的新數要包含四個分量;第二,他必須犧牲乘法交換率。這兩個特點都是對傳統數系的革命。他稱這新的數為“四元數”。“四元數”的出現昭示著傳統觀念下數系擴張的結束。1878年,富比尼(F.Frobenius, 1849 – 1917) 證明:具有有限個原始單元的、有乘法單位元素的實係數先行結合代數,如果服從結合律,那就只有複數和實四元數的代數。
數學的思想一旦衝破傳統模式的藩籬,便會產生無可估量的創造力。哈米爾頓的四元數的發明,使數學家們認識到既然可以拋棄實數和複數的交換性去構造一個有意義、有作用的新“數系”,那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實數和複數的通常性質的代數構造。數系的擴張雖然就此終止,但是,通向抽象代數的大門被打開了。

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