基本介紹
- 中文名：封閉性
- 外文名：Closure (mathematics)
- 領域：數學
簡介,閉包集合,閉包運算元,
簡介
封閉性，即閉包(數學)。數學中，若對某個集合的成員進行一種運算，生成的仍然是這個集合的成員，則該集合被稱為在這個運算下閉合。例如，實數在減法下閉合，但自然數不行：自然數3和7的減法3−7的結果不是自然數。類似的，一個集合被稱為在某些運算的蒐集下閉合，如果它在每個運算之下都閉合。
一個集合在某個運算或某些運算的蒐集下閉合被稱為滿足閉包性質。閉包性質經常作為公理，通常叫做閉包公理。現代集合論通常這樣定義：運算為在集合間的映射。所以向一個結構增加閉包性質作為公理是多餘的，儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。
當一個集合S在某個運算下不閉合的時候，我們通常可以找到包含S的最小的閉合集合。這個最小閉合集合被稱為S的（關於這個運算的）閉包。例如，若把自然數集看作實數集的子集，它在減法下的閉包就是整數集。一個重要的例子是拓撲閉包。閉包的概念推廣為伽羅瓦連線，進一步為單子。注意集合S必須是閉合集合的子集，這樣才能定義閉包運算元。在前面的例子中，實數在減法下閉合是重要的，減法不總是在自然數的定義域中有定義的。
閉包這個詞的兩種用法不應混淆。前者用來提及閉合的性質，而後者提及包含不閉合集合的最小閉合集合。簡要的說，一個集合的閉包滿足閉包性質。
閉包集合
如果對一個集合的成員進行某種運算時，返回值總是這個集合的成員，那么稱這個集合在這種運算下閉合。有時會明確要求運算的返回值位於某個集合中，在這種情況下它叫做閉包公理。例如，例如，群被定義為滿足一些公理的帶有一個二元運算的一個集合，包括了群的任何兩個元素的結合再次是一個元素的公理。但是現代的運算定義使這個公理多餘了，在S上n元運算元只是S的子集。通過這種定義，在一個集合上的運算元不能有在這個集合之外的值。
偏序集合是向下閉合的（也叫做下閉集合），如果對於這個集合的所有元素，所有更小的元素也都在其中；這適用於實數區間(-∞,p)和(-∞,p]的例子。
向上閉合和上閉集合也類似的定義。
閉包運算元
主條目：閉包運算元
給定在集合X上的一個運算元，可以對X中的一個子集S定義閉包C(S)，C(S)是在X中包含S且在運算下閉合的最小子集。例如，群的子集的閉包是這個集合所生成的子群。
關於某個運算的集合的閉包定義了在X的子集上的閉包運算元。閉合集合可以確定自閉包運算元；一個集合是閉合的如果它等於自己的閉包。所有閉包運算元都有以下的典型結構性特徵：
- 閉包是遞增的或擴大的:一個對象的閉包包含這個對象。
- 閉包是冪等的:閉包的閉包等於閉包。
- 閉包是單調的，就是說，如果X包含在Y中，則C(X)也包含在C(Y)。
若一對象等同於自身的閉包，就稱之為閉合。根據冪等性，一個對象是閉合的，若且唯若它是某個對象的閉包。
這三個性質定義了所謂抽象閉包運算元。一般的，一個抽象閉包作用於一個集合的所有子集的類上。
