單射

設f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的單射。

在數學裡，單射函式為一函式，其將不同的引數連線至不同的值上。更精確地說，函式f被稱為是單射時，對每一值域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。

另一種說法為，f為單射，當f(a) = f(b)，則a = b(若a≠b，則f(a)≠f(b))，其中a、b屬於定義域。

單射在某些書中也叫入射，可理解成“原不同則像不同”。

基本介紹

• 中文名：單射
• 外文名：injective
• 相關術語：單射函式
• 別稱：入射
• 定義：當f(a) = f(b)，則a = b
• 套用學科：數學

例子反例

對任一集合X，X上的恆等函式為單射的。

函式f : R → R，其定義為f(x) = 2x + 1，是單射的。

函式g : R → R，其定義為g(x) = x^2，不是單射的，因為g(1) = 1 = g(−1)。但若將g的定義域限在非負數[0,+∞)內或非正數(-∞,0]內，則g是單射的。

指數函式exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是單射的。

自然對數函式ln：(0，+∞) → R：x → ln x是單射的。

函式g : R → R，其定義為g(x) = x^3 − x，不是單射的，因為 g(0) = g(1)。

更一般地說，當X和Y都是實數線 R'，則單射函式f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。

可逆函式

另一單射函式的定義為其作用可取消的函式。更精確地說，f : X → Y為單射，若存在一函式g : Y → X，使得對所有X內的x，g(f(x)) = x，亦即g o f 等同於X上的恆等函式。

注意，g不一定是一f的完全反函式，因為其他順序的複合f o g不一定是在X上的恆等函式。

事實上，將一單射函式f : X → Y變成一雙射函式，只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即，令g : X → J，使其對所以X內的x，g(x) = f(x)；如此g便為單射的了。確實，f可以分解成inclJ,Yog，其中inclJ,Y來由J至Y的內含映射。

其他性質

若f和g皆為單射的，則f o g亦為單射的。

若g o f為單射的，則f為單射的(但g不必然要是)。

f : X → Y是單射的若且唯若給定兩函式g、h : W → X會使得f o g = f o h時，則g = h。

若f : X → Y為單射的且A為X的子集，則f −1(f(A)) = A。所以，A可以從其值域f(A)找回。

若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集，則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。

任一函式 h : W → Y 皆可分解為 h = f o g 其中 f 是單射而 g 是滿射。此分解至多差一個自然同構， f 可以構想為從 h(W) 到 Y 的內含映射。

若 f : X → Y 是單射，則在基數的意義下 Y 的元素數量不少於 X。

若 X 與 Y 皆為有限集，則 f : X → Y 是單射若且唯若它是滿射。

內含映射總是單射。

範疇論的觀點

以範疇論的語言來說，單射函式恰好是集合範疇內的單態射。