基本介紹
- 中文名：拓撲分析
- 外文名：Topology analysis
- 定義：一個研究連續性現象的數學分支
- 名稱起源：Topology的音譯
- 詞語原意：地誌學
- 所屬範疇：幾何學
- 發展重要問題：哥尼斯堡七橋問題、四色問題等
拓撲學,歷史,簡介,概念,集合上的拓撲,連續函式與同胚,流形,主題,一般拓撲學,代數拓撲學,微分拓撲學,幾何拓撲學,推廣,套用,生物學,計算機科學,物理學,機器人,
拓撲學
拓撲學是由幾何學與集合論里發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些辭彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲，他在17世紀提出“位置的幾何學”（geomeτria siτus）和“位相分析”（analysis siτus）的說法。萊昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。“拓撲學”一詞由利斯廷於19世紀提出，雖然直到20世紀初，拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉，拓撲學已成為數學的一大分支。
拓撲學有許多子領域：
歷史
拓撲學開始於對幾何上特定問題的研究。李昂哈德·歐拉於1736年有關柯尼斯堡七橋問題的論文被認為是現代拓撲學的第一份學術著作。
“拓撲學”一詞於1847年由利斯廷在《Vorsτudien zur τopologie》一書中提出。拓撲學的英文於1883年在自然雜誌上對利斯廷的訃文中第一次出現，用來區分“…定性的幾何學，於主要被以定量關係對待的一般幾何學中”。不過，上述用詞都與現代對拓撲學的定義不完全相同。
統合格奧爾格·康托爾、維多·沃爾泰拉、西薩爾·阿爾澤拉、雅克·阿達馬與朱利奧·阿斯科利等人對函式空間的成果，莫里斯·弗雷歇於1906年引入度量空間的概念。度量空間被認為是一般拓撲空間的特例。於1914年，費利克斯·豪斯多夫提出“拓撲空間”一詞，並給出現代稱之豪斯多夫空間的定義。今日的拓撲空間之定義為豪斯多夫空間稍微的推廣，由卡齊米日·庫拉托夫斯基於1922年所給出。
簡介
拓撲空間幾乎會自然地出現在數學的每個分支里。這使得拓撲學成為數學中的重要統合概念之一。
激勵拓撲學裡的洞見來自於一些不依靠物件實際形狀，而是其組織方式的幾何問題。例如，正方形與圓形有許多共通之性質：兩者（自拓撲學的觀點來看）均為一維物件，且都能將平面分成外部及內部兩個部分。
在拓撲學的第一篇論文中，李昂哈德·歐拉證明，不可能找到一條通過柯尼斯堡（現為加里寧格勒）的路，且七座橋都恰只通過一次。此一結論不依靠橋的長度，以及其之間的距離，而只與其連通性質有關：哪座橋會連線哪兩座島與河岸。這個問題被稱為柯尼斯堡七橋問題，且導致了圖論的發展。
同樣地，代數拓撲上的毛球定理表示，“沒有人能撫平毛球上的毛，而沒有翹起的毛。”這個事實能立即讓大多數人信服，儘管他們可能不知道該定理更形式化的陳述，即球體上不存在非零連續切向量場。如同“柯尼斯堡七橋問題”一般，此一結論亦不依靠球體的形狀，而可適用於任何一類光滑表面，只要表面上沒有洞。
為了處理這些不依靠物件實際形狀的問題，必須清楚知道這些問題只依靠著何種性質。這產生出了同胚的概念。不可能只穿越每座橋一次能適用於其排列同胚於那些在柯尼斯堡里七座橋之橋樑；而毛球定理也適用於任何與球體同胚之形狀。
直觀上來看，兩個空間同胚，若其中一個空間可不須切開或黏合即可變形成另一個空間。一個古老的笑話為，拓撲學無法分辨咖啡杯與甜甜圈，因為足夠柔軟的甜甜圈可被凹成一個杯底，中間的洞則可縮成一個手柄。
同胚可以被認為是最基本的“拓撲等價”。另一種為同倫等價。很難不使用到專業術語來描述同倫，但其中一個重要的概念為，兩個物件為同倫等價，若兩者都可由某個較大的物件“壓扁”而成。
概念
集合上的拓撲
形式上來看，令 X 為一集合，且 τ 為 X 的子集族；則 τ 稱之為“ X 上的拓撲”，若：
- 空集合與 X 均為 τ 的元素
- τ 內元素間的任何並集均為 τ 的元素
- τ 內有限多個元素間的任何交集均為 τ 的元素
若 τ 為 X 上的拓撲，則二元對 (X, τ) 稱之為“拓撲空間”。符號Xτ可用來標記具有特定拓撲 τ 的集合 X。
τ 的元素被稱為 X 內的開集合。X 的子集被稱為閉集合，若其補集為 τ 內的元素（即其補集為開集合）。X 的子集可能是開集合、閉集合、兩者都是（閉開集），或兩者都不是。空集合及 X 自身永遠都同時是開集合與閉集合。一個包含點 x 的開集合稱之為 x 的“鄰域”。
一個具拓撲的集合稱之為拓撲空間。
形式上來看，令 X 為一集合，且 τ 為 X 的子集族；則 τ 稱之為“ X 上的拓撲”，若：
- 空集合與 X 均為 τ 的元素
- τ 內元素間的任何並集均為 τ 的元素
- τ 內有限多個元素間的任何交集均為 τ 的元素
若 τ 為 X 上的拓撲，則二元對 (X, τ) 稱之為“拓撲空間”。符號Xτ可用來標記具有特定拓撲 τ 的集合 X。
τ 的元素被稱為 X 內的開集合。X 的子集被稱為閉集合，若其補集為 τ 內的元素（即其補集為開集合）。X 的子集可能是開集合、閉集合、兩者都是（閉開集），或兩者都不是。空集合及 X 自身永遠都同時是開集合與閉集合。一個包含點 x 的開集合稱之為 x 的“鄰域”。
一個具拓撲的集合稱之為拓撲空間。
連續函式與同胚
拓撲空間之間的函式被稱為“連續”的，若任一開集合的原像均為開集合。若函式將實數映射至實數（兩個空間均具有標準拓撲），則其連續之定義等價於微積分內對連續之定義。若一連續函式為一對一且滿射，且若其反函式亦為連續，則該函式稱之為同胚，且該函式的定義域被稱為同胚於其值域。另一種說法為，該函式具有至拓撲的自然延伸。若兩個空間同胚，則兩者具有相同的拓撲性質，且被認為在拓撲上是相同的。立方體與球體同胚，咖啡杯與甜甜圈亦同。不過，圓圈並不同胚於甜甜圈。
流形
因為拓撲空間極為多變且奇特，許多拓撲學的領域會專注於被稱為流形的更為熟悉之空間。“流形”是一個拓撲空間，在每一點附近都類似歐氏空間。更確切地說，每個 n 維流形上的點均有個與 n 維歐氏空間同胚之鄰域。線與圓是一維流形，而雙扭線不是。二維流形亦稱之為曲面，例子包括平面、球體、環面等可以在三維空間實現的曲面，以及克萊因瓶與實投影平面等無法在三維空間實現之曲面。
主題
一般拓撲學
點集拓撲學的基本概念為“連續性”、“緊緻性”與“連通性”。直觀來看，連續函式將鄰近的點映射至鄰近的點上。緊緻集合為可被有限多個任意小之集合覆蓋之集合。連通集合為不能被分成兩個拆開之部分的集合。“鄰近”、“任意小”與“拆開”等詞都可以透過使用開集合來精確定義。若改變了開集合的定義，連續函式、緊緻集合與連通集合的定義亦會改變。每個對“開集合”定義之選擇均是一個“拓撲”。具拓撲之集合稱之為“拓撲空間”。
“度量空間”是個可為距離指配一個被稱為“度量”之數值的一類拓撲空間。擁有度量能簡化許多證明，而許多常見的拓撲空間也都是度量空間。
代數拓撲學
雖然代數拓撲學主要是使用代數來研究拓撲問題，但使用拓撲學來解決代數問題，有時也是有可能的。例如，代數拓撲數能輕易地證明自由群的任一個子群仍是個自由群。
微分拓撲學
更具體來說，微分拓撲考慮只依靠定義在流形上之光滑結構的性質與結構。可在光滑流形上附加額外的幾何結構，以用來阻礙存在於微分拓撲中的某幾類等價與形變。例如，體積與黎曼曲率是可區分相同光滑流形上的不同幾何結構之不變數；亦即，雖然可光滑地“攤平”某些流形，但可能需要扭曲空間，並影響其曲率或體積。
幾何拓撲學
幾何拓撲學是拓撲學的一個分支，主要側重於低維（即二維、三維與四維）流形及其與幾何之互動的研究，但亦包括部分較高維拓撲。幾何拓撲學的研究主題包括可定向性、柄分解、局部平坦與平面及高維商弗力士定理。
在高維拓撲里，特徵類是個基本的不變數，割補理論是其重要理論。
低維拓撲具有強烈幾何含意，體現在二維的單值化定理里，這個曲面都有一個常數曲率的度量；幾何上來說，每個曲面都會是下面3種幾何的其中一種：正曲率/球面、零曲率/平面、負曲率/雙曲面。三維的幾何化猜想（現為定理）表示，每個三維流形都可被分解成數個質流形，而每個質流形都會是八種幾何的其中一種。
二維拓撲可被視為具單一變數的復幾何（在黎曼曲面里為復曲線）來研究。透過單值化定理，每類共形的度量都會等價於一個唯一的複流形。而四維拓撲則可被視為具有二個變數的復幾何（復曲面）來研究，雖然不是每個四維流形都能有一個復結構。
推廣
有時需要用到拓撲學裡的工具時，不一定存在“點的集合”。在無點拓撲學裡，考慮改以開集合的格來作為該理論的基本概念；而格羅滕迪克拓撲則是個定義在任意範疇上的結構，允許在這些範疇上定義出層，以及一般上同調理論的定義。
套用
生物學
紐結理論是拓撲學的一個分支，用於生物學中，以研究DNA內特定酵素的影響。這些酵素會切斷、扭曲且重新連線DNA，形成電泳速率較慢的可觀察結果。拓撲學也被用於演化生物學里，以表示表現型與基因型間的關係。基因型的改變對表現型的改變之影響方式，可決定是否只需少數的突變，即可呈現出極為不同的表現型來。
計算機科學
物理學
雖然拓撲量子場論是由物理學家所發明，但亦與數學相關，與代數拓撲學里的紐結理論及四維流形之理論，以及代數幾何里的模空間之理論等，均有關連。唐納森、瓊斯、維騰與孔采維奇等菲爾茲獎得主，其工作均與拓撲場論有關。
在宇宙論里，拓撲學可用來描述宇宙的整體形狀。這個領域被稱為時空拓撲學。
