位形空間

經典力學中，位形空間（或譯組態空間）是一個物理系統可能處於的所有可能狀態的空間，可以有外部約束。一個典型系統的位形空間具有流形的結構；因此，它也稱為位形流形。

基本介紹

• 中文名：位形空間
• 外文名：configuration space
• 別稱：組態空間，位形流形
• 定義：物理系統可能的所有可能狀態空間
• 學科：經典力學
• 領域：經典力學

簡介

經典力學中，位形空間（或譯組態空間）是一個物理系統可能處於的所有可能狀態的空間，可以有外部約束。一個典型系統的位形空間具有流形的結構；因此，它也稱為位形流形。

例如，運動在普通歐幾里得空間中的單個粒子的位形空間就是R³。對於N個粒子的系統，組態空間就是R^3N，或者說它的沒有兩個位置重疊的子空間。更一般地，可以將在一個流形M中運動的N個粒子的系統的位形空間看作函式空間M^N。

要同時考慮位置和動量，就必須轉到位形空間的餘切叢中。這個更大的空間稱為系統的相空間。簡單說來，一個位形空間通常是一個相空間從函式空間構造的“一半”。在量子力學中，路徑積分表述強調了位形的歷史。位形空間也和辮理論相關，因為一條弦不穿過本身的條件可以表述為將函式空間的對角線切除。

相空間

在數學與物理學中，相空間是一個用以表示出一系統所有可能狀態的空間；系統每個可能的狀態都有一相對應的相空間的點。

以力學系統來說，相空間通常是由位置變數以及動量變數所有可能值所組成。將位置變數與動量變數畫成時間的函式有時稱為相空間圖，簡稱“相圖”（phase diagram）。然而在物質科學（physical sciences）中，“相圖”這詞更常是留給一化學系統用以表示其熱力學相態多種穩定性區域的圖表，為壓力、溫度及化學組成等等之函式。

在一相空間中，系統的每個自由度或參數可以用多維空間中的一軸來代表。對於系統每個可能的狀態，或系統參數值允許的組合，可以在多維空間描繪成一個點。通常這樣的描繪點連線而成的線可以類比於系統狀態隨著時間的演化。最後相圖可以代表系統可以存在的狀態，而它的外型可以輕易地闡述系統的性質，這在其他的表示方法則不那么顯明。一相空間可有非常多的維度。舉例來說，一氣體包含許多分子，每個分子在x、y、z方向上就要有3個維度給位置與3個維度給速度，可能還需要額外的維度給其他的性質。

在經典力學中，相空間坐標由廣義坐標q_i以及其共軛的廣義動量p_i所組成。研究由許多系統所構成的系綜在此空間中的運動是屬於經典統計力學的範疇。

函式空間

在數學中，函式空間是從集合X到集合Y的給定種類的函式的集合。它叫做空間是因為在很多套用中，它是拓撲空間或向量空間或這二者。

函式空間出現在數學的各個領域中：

• 在集合論中，集合X的冪集同一於從X到{0,1}的所有函式的集合；指示為2。更一般的說，函式X→Y的集合指示為Y。
• 在線性代數中，從在同一個域上的向量空間V到另一個向量空間W的所有線性變換的集合自身是個向量空間。
• 在泛函分析中，對於包括如上向量空間上的拓撲的連續線性變換也是同樣的，很多主要例子是承載拓撲的函式空間；最周知的例子包括希爾伯特空間和巴拿赫空間。
• 在泛函分析，從自然數到某個集合X的所有函式集合叫做序列空間。它由X的元素的所有可能序列的集合構成。
• 在拓撲學中，可以嘗試在從拓撲空間X到另一個拓撲空間Y的連續函式的空間上放置一個拓撲，帶有依賴於這些空間的本性的效用。常用的例子是緊開拓撲。還有就是在集合論函式（就是說不必需是連續函式）Y的空間上的乘積拓撲。在本語境中，這個拓撲也叫做逐點收斂拓撲。
• 在代數拓撲學中，同倫理論本質上研究函式空間的離散不變式。
• 在隨機過程理論中，基本技術問題是如何在“過程路徑”（時間的函式）的函式空間上構造機率測度。
• 在範疇論中，函式空間叫做指數對象。它以一種方式出現為表示規範雙函子；但是作為類型[X, -]的（單一）函子，它出現為對在對象上的類型（-×X）的函子的伴隨函子。
• 在lambda演算和函式式編程中，函式空間類型被用來表達高階函式的想法。
• 在域理論中，基本想法是通過建立良好行為的笛卡兒閉範疇，從可建模lambda演算的偏序中找到構造。