單值化定理

單值化定理

單值化定理(uniformization theorem)是黎曼曲面理論中最基本最重要的定理。單值化定理表明,大多數的情形下,黎曼曲面共形等價於單位圓D對某個富克斯群G的商空間D/G,因此R上的解析函式論等價於定義在D上的對某個富克斯群G自守的函式論,反之,整個黎曼曲面理論也能以這個特殊的表示為基礎進行討論,一個經典的問題是:給定一個D上的富克斯群G,是否存在非常數亞純函式對於G是自守的,即黎曼曲面上是否存在非常數的亞純函式。龐加萊((J.-)H.Poincaré)具體構造Θ級數,後稱為龐加萊級數,以此證明對給定的G是自守的函式的存在,閉黎曼曲面的一個重要定理是黎曼-羅赫定理,它給出閉黎曼曲面上亞純函式構成的線性空間的維數,兩黎曼曲面,如果存在映一個為另一個的共形映射,則稱它們是共形等價的。關於閉黎曼曲面的模的黎曼問題稱:虧格為g(>2)的閉黎曼曲面的共形等價類集合Rg構成3g-3維複流形,這方面基礎性的工作是由弗里克(R.Fricke)和泰希米勒(O.Teichmǚller)所做。

基本介紹

  • 中文名:單值化定理
  • 外文名:uniformization theorem
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:複變函數論(黎曼曲面)
  • 相關概念:黎曼曲面,覆蓋空間等
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基本介紹

單值化定理敘述如下:
任一黎曼曲面必共形等價於下述典型曲面之一:
1.擴充複平面
2.複平面C;
3.穿洞的複平面
4.環面,即
,Z表示整數集;
5.單位圓對某個富克斯群G的商空間D/G。

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覆蓋空間

設X和Y是Riemann曲面,一個映射
稱為覆蓋映射,若對每點
,有開鄰域
使得
其中
是Y的互不相交的開子集,且
上的限制
是同胚的。顯然覆蓋映射是局部同胚的,Y稱為X的一個覆蓋空間,如果存在覆蓋映射
,使得
每個覆蓋映射
都具有曲線提升性質:即對每條曲線
及每個點
使得
,或者說對每個
,存在一條曲線
使得
,見交換圖(圖1)。
就稱為以
為起點的
在Y上的提升。
圖1圖1
設Y是X的覆蓋空間
是覆蓋映射,若Y是單連通的,則稱Y為X的萬有覆蓋空間,由如下結論,我們可以進一步認識萬有覆蓋空間,Y為X的萬有覆蓋空間若且唯若相應的覆蓋映射具有萬有性質:對每個覆蓋映射
,其中Z為Riemann曲面以及對每對
使得
,存在惟一連續映射
使得
且有交換圖如2,即,
。使交換圖成立的h又稱為保網的,這是很形象的。
是萬有覆蓋映射,則對每對
使得
,由萬有性質,即對交換圖2中
的情形,存在惟一的保網同胚
使得
,此時h稱之為覆蓋變換,所有這樣由
確定的保網同胚映射,即覆蓋變換之集在複合運算定義的乘法下構成一個群,稱之為覆蓋變換群,記為
,它同構於X的基本群
圖2圖2
,對任一點
,令
稱為(y所在的)軌道。我們把
視為一點,這樣的點構成的集記為
,並可以賦上開集系統和復結構使其成為一個Riemann曲面,開集系統和復結構都是由投影映射
導出來的,要求使得是Y到
的萬有覆蓋映射,且是解析的,進而X與
是共形等價的,即X與
間存在雙方解析同胚。在共形等價意RT,可寫
。故X是它的萬有覆蓋空間在覆蓋變換群下的粘合空間——商空間。
為萬有覆蓋空間。若X是單連通的,那么
是平凡的。由於
同構,所以它也是平凡的,即它只包含一個恆等覆蓋變換。這樣
是單葉的,從而是Y到X的同胚。進一步,
是雙方解析的,即Y與X是共形等價的。這說明了同一個Riemann曲面的兩個萬有覆蓋空間是共形等價的,因為它們互為萬有覆蓋空間。
對任一Riemann曲面X,我們以X上曲線的同倫等價類作為特徵將X的點區分為各個層葉,這樣做可使得曲面X上的每個“洞”被“捏”起來,從而建立X上的一個單連通的覆蓋Riemann曲面
——萬有覆蓋空間。為此,取一點a∈X,對任意
,讓
表示分別以a和x為起點和終點的X上的曲線的同倫等價類之集,定義
以及映射
使得
。然後,在
上建立開集系統和復結構,使
成為一個單連通的Riemann曲面,並且使得
是萬有覆蓋映射,所以任一Riemann曲面都有萬有覆蓋空間。

單值化定理

單連通的Riemann曲面共形等價於Riemann球面
或複平面
或單位圓盤△。因此任一Riemann曲面X以球面
或複平面
或單位圓盤△為其萬有覆蓋空間。這樣,Riemann曲面X被分為橢球面或拋物面或雙曲面,根據它的萬有覆蓋空間為球面
或複平面
或單位圓盤△來確定,進一步研究得到穿孔平面
和環面T是拋物的,即它們的萬有覆蓋空間為複平面
就是萬有覆蓋映射,因
是單連通的,並且
exp把
上的平行於虛軸寬為
的帶形格子的兩邊粘合起來,得到兩頭無限延伸出去的管子。這個管子共形等價於
;因環面可寫為
,其中
是格子,那么投影映射
,就是萬有覆蓋映射,並且
所有不與
共形等價的Riemann曲面一定是雙曲的,對任意雙曲Riemann曲面
中的每個覆蓋變換是△到△的共形映照,從而是線性變換,即
是△上
變換群的子群,可以寫

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