基本介紹
- 中文名：拓撲空間
- 外文名：topological space
- 歸屬：數學
- 最早研究者：法國數學家弗雷
- 最早研究時間：1906年
- 所屬領域：拓撲學
- 地位：中心地位的、統一性的概念
定義,例子,構造,分類,分離公理,可數公理,連通性,緊性,可度量化,擁有代數結構,擁有序結構,分離公理描述,T1分離公理,豪斯多夫分離公理,正則分離公理,全正則分離公理,正規分離公理,
定義
拓撲空間作為對象，連續映射作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖通過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。
設
是一個集合，
是一些 的子集構成的族，則( ， )被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：
1. 空集和
屬於 ，
2. 中任意多個元素的並仍屬於 ，
3. 中有限個元素的交仍屬於 。
這時， 中的元素稱為點（point）， 中的元素稱為開集（open set）。我們也稱 是 上的一個拓撲。
例子
- 更一般的，n維歐幾里得空間R構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
- 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a,b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，若且唯若，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
- 流形都是一個拓撲空間。
- 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
- 每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
- 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對R或者C來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。
- 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
- 泛函分析中的許多運算元集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函式序列收斂。
- 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。
- 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
- 如果Γ是一個序數，則集合[0, Γ]是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(a,b]生成，此處a和b是Γ的元素。
構造
- 拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
- 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
- Vietoris拓撲
分類
依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。
以下假設X為一個拓撲空間。
分離公理
詳細資訊請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。
拓撲不可區分性
X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，若且唯若如下結論之一成立：
對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
x的鄰域系和y的鄰域系相同。
可數公理
- 可分的
X稱為可分的，若且唯若它擁有一個可數的稠密子集。 - 第一可數
X稱為第一可數的，若且唯若其任何一個點都有一個可數的局部基。 - 第二可數
X稱為第二可數的，若且唯若其擁有一個可數的基。
連通性
- 連通
X稱為連通的，若且唯若它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。 - 局部連通
X稱為局部連通的，若且唯若它的每個點都存在一個特殊的局部基，這個局部基由連通集構成。 - 完全不連通
X稱為完全不連通的，若且唯若不存在多於一個點的連通子集。 - 道路連通
X稱為道路連通的，若且唯若其任意兩點x和y，存在從x到y的道路p，也即，存在一個連續映射p:[0,1]→X，滿足p（0）=x且p（1）=y。道路連通的空間總是連通的。 - 局部道路連通
X稱為局部道路連通的，若且唯若其每個點都有一個特殊的局部基，這個局部基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的，若且唯若它是道路連通的。 - 單連通
X稱為單連通的，若且唯若它是道路連通且每個連續映射{\displaystyle f:\mathbb {S} ^{1}\rightarrow X}都與常數映射同倫。 - 可縮
X稱為可縮的，若且唯若它同倫等價到一點。 - 超連通
X稱為超連通的，若且唯若任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。 - 極連通
X稱為極連通的，若且唯若任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。 - 平庸的
X稱為平庸的，若且唯若其開集只有本身與空集。
緊性
- 緊性
X稱為緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。 - 林德洛夫性質
X稱為擁有林德洛夫性質，若且唯若其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。 - 仿緊
X稱為仿緊的，若且唯若其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。 - 可數緊
X稱為可數緊的，若且唯若其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。 - 列緊
X稱為可數緊的，若且唯若其任意點列都包含收斂子列。 - 偽緊
X稱為偽緊的，若且唯若其上的任意實值連續函式都有界。
可度量化
可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可導出任何第二可數的流形皆可度量化。
擁有代數結構
同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。
結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。
擁有序結構
拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：
譜空間（spectral space）上的序結構。
特殊化預序：定義
。常見於計算機科學。
分離公理描述
主要有下面幾條。
T1分離公理
空間內任何兩個不同的點都各有一個鄰域不含另一點。
豪斯多夫分離公理
（T2分離公理) 空間內任何兩個不同的點都各有鄰域互不相交。
正則分離公理
空間內每一點以及不含該點的任一閉集都各有鄰域互不相交。
全正則分離公理
對於空間x 內每一點x及不含x的任一閉集B，存在連續映射ƒ∶x→[0,1]，使得ƒ(x)=0且對B內每一點y，ƒ(y)=1。
正規分離公理
空間內任何兩個不相交的閉集都各有鄰域互不相交。
