同胚

同胚

拓撲學中,同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是兩個拓撲空間之間的雙連續函式。同胚是拓撲空間範疇中的同構

基本介紹

  • 中文名:同胚
  • 外文名:homeomorphism
  • 定義:兩個拓撲空間之間的雙連續函式
  • 性質:保持給定空間拓撲性質的映射
  • 套用學科拓撲學
  • 所屬領域:數學
概念,定義,例子,性質,參見,

概念

拓撲學中,同胚(homeomorphism、topological isomorphism、bi continuous function)是兩個拓撲空間之間的雙連續函式。同胚是拓撲空間範疇中的同構;也就是說,它們是保持給定空間的所有拓撲性質的映射。如果兩個空間之間存在同胚,那么這兩個空間就稱為同胚的,從拓撲學的觀點來看,兩個空間是相同的。
大致地說,拓撲空間是一個幾何物體,同胚就是把物體連續延展和彎曲,使其成為一個新的物體。因此,正方形和圓是同胚的,但球面和環面就不是。有一個笑話是說,拓撲學家不能區分咖啡杯和甜甜圈,這是因為一個足夠柔軟的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形狀。
拓撲學中,兩個流形,如果可以通過彎曲、延展、剪下(只要最終完全沿著當初剪開的縫隙再重新貼上起來)等操作把其中一個變為另一個,則認為兩者是同胚的。如:圓和正方形是同胚的,而球面和環面就不是同胚的。

定義

兩個拓撲空間{X,TX}和{Y,TY}之間的函式f:XY稱為同胚,如果它具有下列性質:
  • f雙射(單射和滿射);
  • f是連續的;
  • 反函式f也是連續的(f是開映射)。
滿足以上三個性質的函式有時稱為雙連續自同胚就是從一個拓撲空間到它本身的同胚。同胚形成了所有拓撲空間的類上的等價關係。所得到的等價類稱為同胚類

例子

R內的單位圓盤D和單位正方形是同胚的。
開區間(−1, 1)與實直線R同胚。
積空間S× S與二維環面同胚。
每一個一致同構和等距同構都是同胚。
任何二維球面去掉一個點都與R中的所有點所組成的集合(二維平面)同胚。
設A為一個有單位的交換環,並設S為A的乘法子集。那么Spec
同胚。
時,
不與
同胚。
一個連續和雙射但不是同胚的函式的例子,是把半開區間 [0,1)纏繞到圓上的映射。在這個情況中,逆映射雖然存在,但不是連續的。

性質

  • 同胚是拓撲空間範疇中的同構。因此,兩個同胚的複合映射也是同胚,且所有自同胚XX形成了一個,稱為X自同胚群,通常記為Homeo(X)。
  • 兩個同胚的空間具有相同的拓撲性質。例如,如果其中一個是緊空間,那么另外一個也是緊空間;如果其中一個是連通空間,那么另外一個也是連通空間,等等。然而,這不能推廣到通過度量所定義的性質;如果兩個度量空間是同胚的,那么仍然有可能其中一個是完備的,而另外一個不是。
  • 同胚既是開映射又是閉映射,也就是說,它把開集映射到開集,把閉集映射到閉集。
  • 每一個S1的自同胚都可以延伸到整個圓盤D2的自同胚。

參見

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