傅立葉級數

法國數學家傅立葉發現，任何周期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的），後世稱傅立葉級數為一種特殊的三角級數，根據歐拉公式，三角函式又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。

基本介紹

• 中文名：傅立葉級數
• 外文名：Fourier series
• 提出者：傅立葉
• 適用領域範圍：任何周期函式
• 性質：一種特殊的三角級數
• 套用學科：數學

來源

法國數學家J.-B.-J.傅立葉在研究偏微分方程的邊值問題時提出。從而極大地推動了偏微分方程理論的發展。在中國，程民德最早系統研究多元三角級數與多元傅立葉級數。他首先證明多元三角級數球形和的唯一性定理，並揭示了多元傅立葉級數的里斯- 博赫納球形平均的許多特性。傅立葉級數曾極大地推動了偏微分方程理論的發展。在數學物理以及工程中都具有重要的套用。

傅立葉級數

公式

給定一個周期為T的函式x(t)，那 么它可以表示為無窮級數：（1）（j為虛數單位），

其中， 可以按下式計算： （2） ，注意到；是周期為T的函式，故k 取不同值時的周期信號具有諧波關係（即它們都具有一個共同周期T）。k=0時，（1）式中對應的這一項稱為直流分量，k=1時具有基波頻率，稱為一次諧波或基波，類似的有

二次諧波，三次諧波等等。

傅立葉級數

性質

收斂性

傅立葉級數的收斂性：滿足狄利赫里條件的周期函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利赫里條件如下：

在任何周期內，x(t)須絕對可積；在任一有限區間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；

傅立葉級數

在任何有限區間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。

吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取（1）式右邊的無窮級數中的有限項作和x(t)，那么x(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波信號。

正交性

所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性，例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。三角函式族的正交性用公式表示出來就是：

傅立葉級數

奇偶性

奇函式，可以表示為正弦級數，而偶函式，則可以表示成餘弦級數：

只要注意到歐拉公式：，這些公式便可以很容易從上面傅立葉級數的公式中導出。

傅立葉級數

廣義傅立葉級數

類似於幾何空間上矢量的正交分解，周期函式的傅立葉級數是在內積空間上函式的正交分解。其正交分解從基推廣到Legendre（勒讓特，1775-1837）多項式和Haar（哈爾，1885-1993）小波基等，稱為廣義傅立葉級數。

任何正交函式系 ，如果定義在[a,b]上的函式f(x）只具有有限個第一類間斷點，那么如果f(x）滿足封閉性方程：

（4），那么級數（5） 必然收斂於f(x），其中：

（6）。事實上，無論（5）時是否收斂，我們總有：

傅立葉級數

成立，這稱作貝塞爾(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因為對於任意的單位正交基 ，向量x在 上的投影總為 。