複流形

在數學中，特別是在微分幾何和代數幾何中，複流形是具有復結構的微分流形，即它能被一族坐標鄰域所覆蓋，其中每個坐標鄰域能與n維複線性空間中的一個開集同胚，從而使坐標區域中的點具有復坐標 (z1,…,zn)，而對兩個坐標鄰域的重疊部分中的點，其對應的兩套復坐標之間的坐標變換是全純的。稱n為此複流形的復維數。一個n維複流形也是2n維的（實）微分流形。

基本介紹

• 中文名：複流形
• 外文名：complex manifold
• 適用範圍：數理科學

定義

單複變函數論中的全純函式的反函式經常出現多值情形，因此定義域便從複平面擴產到黎曼曲面，使得在黎曼曲面上這個全純函式的反函式單值化。無支點的黎曼曲面的推廣，就是複流形。

定義如下：設 M 為具有可數基的仿緊拓撲空間，在 M 上有開覆蓋 ，使得對每個開子集 ，存在 到 n 維復歐幾里得空間 中開集上的同胚 。

因此對開子集 中每一點 p，存在局部坐標 。 稱為標架， 稱為坐標系。當 ，則開子集 中任一點 p 有兩種坐標

由於 和 為同胚，於是有局部坐標 z 和 w 之間的一一對應關係 ：

這是 （ ）到 （ ）上的映射，如果 是全純同構映射，則拓撲空間 M 稱為 n 維複流形。

注意，n 維複流形是一類特殊的 2n 維實流形，即具有復結構 J 的 2n 維實流形。上面提到黎曼曲面是由全純函式的反函式單值化產生的。而在多復變情形，從解析開拓的角度，可以看出復歐幾里得空間中的域上的全純函式，在作解析開拓後，會產生複流形。所以有些函式論問題，僅局限在 n 維復歐幾里得空間 上考慮是不夠的，必須擴產到複流形上討論。這就是為什麼在多複變函數論中，複流形的概念是不可缺少的。關於複流形的研究，緊複流形比一般情形要成熟些。

歷史

作為一維的複流形的黎曼面的研究有著悠久的歷史，而一般複流形的研究從20世紀40年代才開始。

現今，它已成為近代數學中十分重要的概念和課題。

舉例

黎曼球面

考慮R³中的單位球面。它可以被球面分別去掉北極和南極所得到的兩個坐標開集所覆蓋。用關於北極的球極投影得到一個坐標映射，而關於南極的球極投影后再取共軛複數又得到另一個坐標映射。這樣，單位球面也構成一維複流形，稱為黎曼球面。

復射影空間

對復射影空間CPⁿ描述如下：設Cⁿ⁺¹是復n+1維的複線性空間，Cⁿ⁺¹\{0}是從Cⁿ⁺¹中去掉原點後所得到的空間。對於其中任意兩個點z=(z₀,...,z_n)和w=(w₀,...,w_n),如果存在非零複數λ∈C\{0} 使z=λw，則稱z和w等價，按照這個等價關係所得到的商空間記做CPⁿ，它是一個n維的複流形。Cⁿ⁺¹中的點(z₀,...,z_n)所在的等價類，被看成是CPⁿ中的點，記做(z₀:...:z_n)，稱為齊次坐標。直觀地說，CPⁿ就是Cⁿ⁺¹中所有過原點的復直線（即二維實平面）的集合。

對CPⁿ中的任一點p，設(z₀(p):...:z_n(p))是它的齊次坐標，那么{(z₀,...,z_n);|z₀|²+...+|z_n|²=1}是Cⁿ⁺¹中以原點為中心的單位球面S²ⁿ⁺¹上的一點。我們知道，S²ⁿ⁺¹的子集{(λz₀,...,λz_n);|z₀|²+...+|z_n|²=1,|λ|=1,λ∈C}是S²ⁿ⁺¹上的一個大圓。給定p點，即點(z₀(p):...:z_n(p))，它所確定的S²ⁿ⁺¹上點的全體恰好組成了一個大圓，因此CPⁿ也可看成S²ⁿ⁺¹中的大圓的全體。

當n=1時，CP¹和黎曼球面S²是雙全純等價的。