約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet），德國數學家。科隆大學博士。歷任柏林大學和格廷根大學教授。柏林科學院院士。是解析數論的創始人。對函式論、位勢論和三角級數論都有重要貢獻。主要著作有《數論講義》、《定積分》等。
基本介紹
- 中文名：約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷
- 外文名：Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
- 國籍：德國
- 出生地：迪倫
- 出生日期：1805年2月13日
- 逝世日期：1859年5月5日
- 職業：教師
- 畢業院校：布雷斯勞大學
- 主要成就：解析數論的奠基者，也是現代函式概念的定義者
- 代表作品：《數論講義》《定積分》等
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人物經歷
狄利克雷是德國數學家。1805年2月13日生於迪倫；1859年5月5日卒於哥廷根。
狄利克雷出生於一個具有法蘭西血統的家庭。自幼喜歡數學，在12歲前就將零用錢攢起來買數學書閱讀。16歲中學畢業後，父母希望他學習法律，但狄利克雷卻決心攻讀數學，他先在迪倫學習，後到哥廷根受業於高斯。1822年到1827年間旅居巴黎當家庭教師。在此期間，他參加了以傅立葉為首的青年數學家小組的活動，深受傅立葉學術思想的影響。1827年在波蘭布雷斯勞大學任講師。1829年任柏林大學講師，1839年升為教授。1855年，高斯逝世後，他作為高斯的繼任者被哥廷根大學聘任為教授，直至逝世。他1831年被選為普魯士科學院院士，1855年被選為英國皇家學會會員。
狄利克雷16歲通過中學畢業考試後，父母希望他攻讀法律，但他已選定數學為其終身職業。當時的德國數學界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學，於是狄利克雷決定到數學中心巴黎上大學，那裡有一批燦如明星的數學家，諸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒讓德(Legendre)、J．傅立葉(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克魯瓦(Lacroix)、J．B．比奧(Biot)等等。
1822年5月，狄利克雷到達巴黎，選定在法蘭西學院和巴黎理學院攻讀；其間因患輕度天花影響了聽課，幸好時間不長。1823年夏，他被選中擔任M．法伊(Fay)將軍的孩子們的家庭教師。法伊是拿破崙時代的英雄，時任國民議會反對派的領袖。狄利克雷擔任此職，不僅收入頗豐，而且受到視如家人的善待，還結識了許多法國知識界的名流。其中，他對數學家傅立葉尤為尊敬，受其在三角級數和數學物理方面工作的影響頗深。另一方面，狄利克雷從未放棄對高斯1801年出版的數論名著《算術研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的鑽研。據傳他即使在旅途中也總是隨身攜帶此書，形影不離。當時還沒有其他數學家能完全理解高斯的這部書，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人。可以說，高斯和傅立葉是對狄利克雷學術研究影響最大的兩位數學前輩。
1825年，狄利克雷向法國科學院提交他的第一篇數學論文，題為“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)。他利用代數數論方法討論形如x5+y5=A·z5的方程。幾周后，勒讓德利用該文中的方法證明了
當n=5時無整數解；狄利克雷本人不久也獨立證明出同一結論。(後來狄利克雷再次研究費馬大定理時，證明n=14時該方程無整數解。)
1825年11月，法伊將軍去世。1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學獲講師資格(他在法國未攻讀博士學位，而由科隆大學授予他榮譽博士頭銜，這是獲講師資格的必要條件)，後升任編外教授(extraordinary professor，為介於正式教授和講師之間的職稱)。
1828年，狄利克雷又經洪堡的幫助來到學術空氣較濃厚的柏林，任教於柏林軍事學院。同年，他又被聘為柏林大學編外教授(後升為正式教授)，開始了他在柏林長達27年的教學與研究生涯。由於他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，諄諄善誘，培養了一批優秀數學家，對德國在19世紀後期成為國際上又一個數學中心產生了巨大影響。
1831年，狄利克雷成為柏林科學院院士。同年，他和哲學家M．孟德爾頌(Mende1ssohn)（音樂家費利克斯·孟德爾頌之姐）的外孫女麗貝卡·孟德爾頌-巴托爾特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)結婚。
1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼任到哥廷根大學任教。與在柏林繁重的教學任務相比，他很欣賞在哥廷根有更多自由支配的時間從事研究(這一時期主要從事一般力學的研究)。可惜美景不長，1858年夏他去瑞士蒙特勒開會，作紀念高斯的演講，在那裡突發心臟病。狄利克雷雖平安返回了哥廷根，但在病中遭夫人中風身亡的打擊，病情加重，於1859年春與世長辭。
科學研究
數論
在數論方面，他對高斯的’《算術研究》進行了研究，並有所創新，對費馬大定理，他給出當n=14時，無整數解的證明；還探討了二次型、多項式的因子、二次和雙二次互反德等等問題；還開創了解析數論的研究。
狄利克雷在柏林的早期數論工作，集中在改進高斯在《算術研究》及其他數論文章中的證明或表述方式。如高斯給出的二次互反律的第一個證明相當煩瑣，需對8種情形作分別的處理；狄利克雷簡化了這一證明，把全部情形歸結為2種。其後，他在高斯的理論中引入了一些更深入的問題和結果。如為解二元型理論中的某些困難問題，他開始討論三元型的課題，提出了一個富有成果的新領域。1837年7月27日，狄利克雷在柏林科學院會議上，提交了對勒讓德的一個猜想的解答，他證明任一形如an+b，n=0，1，2，…的算術級數，若a，b互素，則它含有無窮多個素數(即算術級數的素是複數)和二元二次型類數的計算等分析學工具和方法，成為解析數論的開創性工作。
1842年，狄利克雷開始研究具有高斯係數的型，首次運用了“盒子原理”——若將多於n個的物體放入n個盒子，則至少有一個盒子含有多於一個的物體，它在現代數論的許多論證中起重要作用。
1846年，他在屬於代數數論的單元理論的文章“復單元理論(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，獲得了一個漂亮而完整的結果，現稱狄利克雷單元定理：對由一個不可約方程及其r個實根和s對復根定義的代數數域 K=Q(α)，一切單元構成的阿貝爾群的秩為r+s-1，其有限階元部分由域中單位根組成。
1863年，狄利克雷的《數論講義》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的學生和朋友R．戴德金(Dedekind)編輯出版，這份講義不僅是對高斯《算術研究》的最好注釋，而且融進了他在數論方面的許多精心創造，之後多次再版，成為數論經典之一。
分析
在分析方面，他最卓越的工作是對傅立葉級數收斂性的研究。他在1822——1825年期間在巴黎會見傅立葉之後，對傅立葉級數產生了興趣。日本數學家丸山哲郎說：“把任意函式用三角級數表示出來的傅立葉方法，被狄利克雷所繼承，他給出了關於傅立葉級數的收斂性證明。”
狄利克雷是19世紀分析學嚴格化的倡導者之一。1829年，他在克雷爾(Crell)雜誌發表了他最著名的一篇文章“關於三角級數的收斂性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)。該文是在傅立葉有關熱傳導理論的影響下寫成的，討論任意函式展成形如：1/2
+(
cosx+
sinx)+(
cos2x+
sin2x)+…的三角級數(現稱傅立葉級數)及其收斂性。早在18世紀，D．伯努利(Bernoulli)和L．歐拉(Euler)就曾在研究弦振動問題時考察過這類級數。傅立葉在19世紀初用它討論熱傳導現象，但未慮及其收斂性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年開始考慮它的收斂問題。狄利克雷在文中指出柯西的推理不嚴格，其結論也不能涵蓋某些已知其收斂性的級數。他進而考慮形式上對應於給定函式f(x)的三角級數的前n項的和，檢驗它跟f(x)的差是否趨於零，後成為判斷級數收斂的經典方法。狄利克雷證明：若f(x)是周期為2π的周期函式，在-π<x dx有限，則在f(x)所有的連續點處，其傅立葉級數收斂到f(x)，在函式的跳躍點處，它收斂於函式左右極限值的算術平均。這是第一個嚴格證明了的有關傅立葉級數收斂的充分條件，開始了三角級數理論的精密研究。
1837年，狄利克雷再次回到上述課題，發表題為“用正弦和餘弦級 tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中擴展了當時普遍採用的函式概念(即由數學符號及運算組成的表達式為函式的概念)，引入了現代的函式概念：若變數y以如下方式與變數x相關聯，即只要給x指定一個值，按一個規則可確定唯一的y值，則稱y是獨立變數x的函式。為說明該規則具有完全任意的性質，狄利克雷舉出了“性狀極怪”的函式實例：當x為有理數時，y=c；當x為無理數時，y=d≠c 現稱狄利克雷函式)。但狄利克雷的連續函式概念仍是直觀的，並根據等距取函式值求和的方法定義其積分。在此基礎上，狄利克雷建立了傅立葉級數的理論。
數學物理
1839年，狄利克雷發表了3篇涉及力學的數學論文，討論多重積分估值的方法，用於確定橢球體對其內部或外部任意質點的引力，開始了他對數學物理問題的研究。這方面最重要的文章發表於1850年，提出了研究拉普拉斯方程的邊值問題(現稱狄利克雷問題或第一邊值問題)：求滿足偏微分方程的位勢函式V(x，y，z)，使它在球面邊界上取給定的值。這一類型的問題在熱力學和電動力學中特別重要，也是數理方程研究中的基本課題。狄利克雷本人曾用所謂的狄利克雷原理給出了問題的解。1852年，他討論球在不可壓縮流體中的運動，得到流體動力學方程的第一個精確解。
人物著作
勒熱納·狄利克雷逝後，其朋友且學生數學家戴德金將其數論的講述和其他結果整理、編輯，在1863年出版了他的遺著《數論講義》，其中包含了他在數論方面的許多成果。在分析方面，他先後發表了《關於三角級數的收斂性》、《用正弦和餘弦級數表示完全任意函式》，其中進一步發展了傅立葉級數的理論，並提出新的單值函式概念，還提出所謂“狄利克雷函式”、所謂“狄利克雷積分”等。他還在位勢論、熱學、磁學、數學物理等方面也有一些創造。
狄利克雷很注重同德、法等外國數學家的交流。其主要論文收集在《狄利克雷論文集》里，共2卷，分別出版於1889年和1897年。
狄利克雷定理
1.簡介
在數論中，狄利克雷定理說明對於任意互質的兩個數a,d，有無限多個質數的形式如a+nd，其中n為正整數，即在算術級數a+d,a+2d,a+3d……中有無限多個質數——有無限個質數模d同餘a。狄利克雷函式無法畫出圖像
2.相關定理
歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如2n+1。
算術級數的質數定理：若a,d互質，則有
其中φ是歐拉函式。取d=2，可得一般的質數定理。
Linnik定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數a+nd中最小的質數少於c*d^L，其中L和c均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
分析學中，狄利克雷（Dirichlet）判別法是分析學中一條十分重要的判定法則，主要用於判定任意項數項級數的收斂、函式項級數的一致收斂、反常積分的收斂以及含參變數反常積分的一致收斂等。
1834年提出鴿巢定理（即抽屜原理），當時命名為Schubfachprinzip (drawer principle).
家庭情況
狄利克雷於1805年2月13日生於德國迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。
其家庭來自比利時的市鎮利克雷（Richelet），此乃其姓氏勒熱納·狄利克雷（le jeune de Richelet = 法語：來自利克雷的小伙子），他的祖父就生活在那裡。狄利克雷出身於行政官員家庭，他父親是一名郵政局長。狄利克雷少年時即表現出對數學的濃厚興趣，據說他在12歲前就自攢零用錢購買數學圖書。1817年入波恩的一所中學，除數學外，他對近代史有特殊愛好，人們稱道他是個能專心致志又品行優良的學生。兩年後，他遵照父母的意願轉學到科隆的一所教會學校，在那裡曾從師物理學家歐姆(Ohm)，學到了必要的物理學基礎知識。
其妻瑞貝卡·孟德爾頌（Rebecca Mendelssohn）是音樂家費利克斯·孟德爾頌的妹妹。
