狄利克雷定理

在數論中，狄利克雷定理說明對於任意互質的正整數a,d，有無限多個質數的形式如a+nd，其中n為正整數，即在等差數列a+d,a+2d,a+3d,...中有無限多個質數——有無限個質數模d同餘a。

基本介紹

• 中文名：狄利克雷定理
• 外文名：Dirichlet's theorem on arithmetic progressions
• 提出者：狄利克雷
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：物理
• 推廣定理：Chebotarev密度定理

人物介紹

狄利克雷（1805～1859）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生於迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教於物理學家G.S.歐姆；1822～1826年在巴黎求學，深受J.-B.-J.傅立葉的影響 。回國後先後在布雷斯勞大學、柏林軍事學院和柏林大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。

在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函式是x與y之間的一種對應關係的現代觀點。

在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1836年狄利克雷撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋並有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄利克雷級數。1838～1839年，他得到確定二次型 類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。

在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄利克雷問題。

定理定義

歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如2n+1。

算術級數的質數定理：若a,d互質，則有

其中φ是歐拉函式。取d=2，可得一般的質數定理。

Linnik定理說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數a+nd中最小的質數少於c*d^L，其中L和c均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。

Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。

驗證推導

狄利克雷定理的證明依賴狄利克雷L級數，我們定義 如下：

考察其對數形式為：

將上式分開寫為：

易知：

在s=1處解析（因為絕對收斂）。

下面我們構造狄利克雷算術級數素數部分的和函式：

上式之所以成立是由狄利克雷特徵的正交性決定的，將其改寫為：

顯然 當 時解析，當 時我們有：

因此我們有：

至此，我們已經證明了：

故存在無窮多個素數 ，且其分布密度為 。