平面向量

平面向量是在二維平面內既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理學中也稱作矢量，與之相對的是只有大小、沒有方向的數量（標量）。平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

基本介紹

• 中文名：平面向量
• 外文名：Plane vector
• 別稱：矢量
• 特點：既有方向又有大小
• 提出者：英國數學家哈密頓
• 套用學科：數學、教育學、力學

發展歷程

向量(矢量)這個術語作為現代數學-物理學中的一個重要概念，首先是由英國數學家哈密頓使用的。向量的名詞雖來自哈密頓，但向量作為一條有向線段的思想卻由來已久。向量理論的起源與發展主要有三條線索：物理學中的速度和力的平行四邊形法則、位置幾何、複數的幾何表示。

哈密頓

物理學中的速度與力的平行四邊形概念是向量理論的一個重要起源之一。18世紀中葉之後，歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接導致了在19世紀中葉向量力學的建立。同時，向量概念是近代數學中重要和基本的概念之一，有著深刻的幾何背景。它始於萊布尼茲的位置幾何。

現代向量理論是在複數的幾何表示這條線索上發展起來的。18世紀，由於在一些數學的推導中用到複數，複數的幾何表示成為人們探討的熱點。哈密頓在做3維複數的模擬物的過程中發現了四元數。隨後，吉布斯和亥維賽在四元數基礎上創造了向量分析系統，最終被廣為接受。

相關概念

有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作 。

向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作 。

零向量：長度等於0的向量叫做零向量，記作0。

相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量。

單位向量：模等於1個單位長度的向量叫做單位向量，通常用e表示。

相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。

表示方法

幾何表示

具有方向的線段叫做有向線段，我們以A為起點、B為終點的有向線段作為向量，可以記作 。但是，區別於有向線段，在一般的數學研究中，向量是可以平移的。

坐標表示

在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底。任作一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x、y，使得： ，我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標。

向量的坐標表示

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，上式叫做向量的坐標表示。在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對實數唯一表示。

根據定義，任取平面上兩點

即一個向量的坐標等於表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標。

書寫方法

印刷體：只用小寫字母表示時，採用加粗黑體；用首尾點大寫字母表示時，需要在字母上加箭頭，如 ；

向量加法的四邊形法則

手寫體：均需在字母上加箭頭表示，如 、 。

運算性質

向量同數量一樣，也可以進行運算。向量可以參與多種運算過程，包括線性運算（加法、減法和數乘）、數量積、向量積與混合積等。

下面介紹運算性質時，將統一作如下規定：任取平面上兩點A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，C(x₃,y₃)。

加法

已知向量AB、BC，再作向量AC，則向量AC叫做AB、BC的和，記作AB+BC，即有：AB+BC=AC。

向量加法的三角形法則

用坐標表示時，顯然有：AB+BC=(x₂-x₁,y₂-y₁)+(x₃-x₂,y₃-y₂)=(x₂-x₁+x₃-x₂,y₂-y₁+y₃-y₂)=(x₃-x₁,y₃-y₁)=AC。這就是說，兩個向量和與差的坐標分別等於這兩個向量相應坐標的和與差

三角形法則：AB+BC=AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則，簡記為：首尾相連、連線首尾、指向終點。

四邊形法則：已知兩個從同一點A出發的兩個向量AC、AB，以AC、AB為鄰邊作平行四邊形ACDB，則以A為起點的對角線AD就是向量AC、AB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則，簡記為：共起點 對角連。

對於零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。

向量的加法滿足所有的加法運算定律，如：交換律、結合律。

減法

AB-AC=CB，這種計算法則叫做向量減法的三角形法則，簡記為：共起點、連中點、指被減。

-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=0；a-b=a+(-b)。

數乘

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa。當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ = 0時，λa=0。

用坐標表示的情況下有：λAB=λ(x₂-x₁,y₂-y₁)=(λx₂-λx₁,λy₂-λy₁)

設λ、μ是實數，那么滿足如下運算性質：

1. (λμ)a= λ(μa)
2. (λ + μ)a= λa+ μa
3. λ(a±b) = λa± λb
4. (－λ)a=－(λa) = λ(－a)
5. |λa|=|λ||a|

數量積

已知兩個非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數量積或內積，記作a·b。零向量與任意向量的數量積為0。數量積a·b的幾何意義是：a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積。

兩個向量的數量積等於它們對應坐標的乘積的和。即：若a=(x₁,y₁),b=(x₂,y₂)，則a·b=x₁·x₂+y₁·y₂

數量積具有以下性質：

1. a·a=|a|²
2. a·b=b·a
3. a·(b+c)=a·b+a·c
4. a⊥b=0=>a·b=0
5. a·b=0=>a⊥b=0(a≠0,b≠0)
6. a=kb<=>a//b
7. |a·b|≤|a|·|b|
8. e₁·e₂=|e₁||e₂|cosθ

向量積

向量a與向量b的夾角：已知兩個非零向量，過O點做向量OA=a，向量OB=b，則∠AOB=θ 叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>。已知兩個非零向量a、b，那么a×b叫做a與b的向量積或外積。向量積幾何意義是以a和b為邊的平行四邊形面積，即S=|a×b|。

向量積示意圖

若a、b不共線，a×b是一個向量，其模是|a×b|=|a||b|sin<a,b>，a×b的方向為垂直於a和b，且a、b和a×b按次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

若a=(x₁,y₁,0),b=(x₂,y₂,0)，則有：

向量積具有如下性質：

1. a×a=0
2. a‖b<=>a×b=0
3. a×b=-b×a
4. (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
5. (a+b)×c=a×c+b×c

混合積

給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合積具有下列性質：

1. 三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）
2. 上條性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0
3. (abc) = (bca) = (cab) = - (bac) = - (cba) = - (acb)

基本定理

如果e₁和e₂是同一平面內的兩個不共線的非零向量，那么對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ、μ，使a= λe₁+ μe₂。

有關推論

• 三角形ABC內一點O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是三角形的垂心。
• 若O是三角形ABC的外心,點M滿足OA+OB+OC=OM，則M是三角形ABC的垂心。
• 若O和三角形ABC共面，且滿足OA+OB+OC=0，則O是三角形ABC的重心。
• 三點共線：三點A,B,C共線推出OA=μOB+aOC(μ+a=1)
• 平面三角形ABC內有一點O，則S△BCO*OA+S△ACO*OB+S△ABO*OC=0