共線向量基本定理

共線向量基本定理

共線向量也就是平行向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量,表示為a∥b ,任意一組平行向量都可移到同一直線上,所以稱為共線向量。共線向量基本定理為如果 a0,那么向量b與a共線的充要條件是:存在唯一實數λ,使得 ba

基本介紹

  • 中文名:共線向量基本定理
  • 別稱:向量共線定理
  • 表達式:b=λa
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:幾何
  • 適用領域範圍:平面向量
共線向量基本定理,推論,推論1,推論2,推論3,推論4,推論5,推論6,推論7,共線向量定理,定理1,定理2,

共線向量基本定理

如果a≠0,那么向量b與a共線的充要條件是:存在唯一實數λ,使得ba
共線向量基本定理
證明:
1)充分性:對於向量 a(a≠0)、b,如果有一個實數λ,使 ba,那么由實數與向量的積的定義知,向量ab共線。
2)必要性已知向量ab共線,a≠0,且向量b的長度是向量a的長度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么當向量ab同方向時,令 λ=m,有 ba,當向量ab反方向時,令 λ=-m,有 ba。如果b=0,那么λ=0。
3)唯一性:如果 baa,那么 (λ-μ)a=0。但因a0,所以 λ=μ。
證畢。

推論

推論1

兩個向量a、b共線的充要條件是:存在不全為零的實數λ、μ,使得 λab=0
證明:
1)充分性,不妨設μ0,則由 λab=0 -b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知,向量ab共線。
2)必要性,已知向量ab共線,若a≠0,則由共線向量基本定理知,ba,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λab=0,實數λ、μ不全為零。若a=0,則取μ=0,取λ為任意一個不為零的實數,即有 λab=0
證畢

推論2

兩個非零向量a、b共線的充要條件是:存在全不為零的實數λ、μ,使得 λab=0
證明:
1)充分性,∵μ0,∴由 λab=0 可得 b=(λ/μ)a。由 共線向量基本定理 知,向量ab共線。
2)必要性,∵向量ab共線,且a≠0,則由 共線向量基本定理 知,ba;又∵b≠0,∴λ0; 取 μ=-1≠0,就有 λab=0實數λ、μ全不為零。
證畢

推論3

如果a、b是兩個不共線的向量,且存在一對實數λ、μ,使得 λab=0,那么λ=μ=0。
證明:(反證法
不妨假設μ≠0,則由 推論1 知,向量a、b共線;這與已知向量a、b不共線矛盾,故假設是錯的,所以λ=μ=0。
證畢

推論4

如果三點P、A、B不共線,那么點C在直線AB上的充要條件是:存在唯一實數λ,使得
向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。(其中,向量AC=λ向量AB)。
證明:
∵三點P、A、B不共線,∴向量AB≠0
共線向量基本定理 得,
點C在直線AB上 <=> 向量AC 與 向量AB 共線 <=> 存在唯一實數λ,使 向量AC=λ·向量AB
∵三點P、A、B不共線,∴向量PA 與 向量PB 不共線,
∴向量AC=λ·向量AB <=> 向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA) <=> 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB。
證畢

推論5

如果三點P、A、B不共線,那么點C在直線AB上的充要條件是:存在唯一一對實數λ、μ,使得
向量PC=λ向量PA+μ向量PB。(其中,λ+μ=1)
證明:
推論4 中,令 1-λ=μ ,則λ+μ=1,知:
三點P、A、B不共線 <=> 點C在直線AB上的充要條件是:存在實數λ、μ,使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB。(其中,λ+μ=1)
下面證唯一性,若 向量PC=m向量PA+n向量PB,則 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB,
即,(m-λ)向量PA+(n-μ)向量PB=0
∵三點P、A、B不共線,∴向量PA 與 向量PB 不共線,
推論3 知,m=λ,n=μ。
證畢

推論6

如果三點P、A、B不共線,那么點C在直線AB上的充要條件是:存在不全為零的實數λ、μ、ν,使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0。
證明:
1)充分性,由推論5 知,若三點P、A、B不共線,則 點C在直線AB上 <=> 存在實數λ、μ,使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB(其中,λ+μ=1)。
取ν=-1,則有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,且實數λ、μ、ν不全為零。
2)必要性,不妨設ν≠0,且有:λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,則 向量PC=(λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB,(-λ/ν)+(-μ/ν)=1。由推論5 即知,點C在直線AB上。
證畢

推論7

點P是直線AB外任意一點,那么三不同點A、B、C共線的充要條件是:存在全不為零的實數λ、μ、ν,使得
λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0。
證明:(反證法
∵點P是直線AB外任意一點,∴向量PA≠0,向量PB≠0,向量PC≠0,且 向量PA、向量PB、向量PC兩兩不共線。
推論6 知,實數λ、μ、ν不全為零,
1)假設實數λ、μ、ν中有兩個為零,不妨設λ≠0,μ=0,ν=0。則 λ向量PA=0,∴向量PA=0。這與向量PA≠0
2)假設實數λ、μ、ν中有一個為零,不妨設λ≠0,μ≠0,ν=0。則 λ向量PA+μ向量PB=0,∴向量PA=(μ/λ)·向量PB,∴向量PA 與 向量PB共線,這與向量PA 與 向量PB不共線矛盾。
證畢

共線向量定理

定理1

⊿ABC中,點D在直線BC上的充要條件是
其中
共線向量基本定理
都是其對應向量的數量。
共線向量基本定理
證明:有推論5 即可證得。

定理2

⊿ABC中,點D在直線BC上的充要條件是
其中都是有向面積。通常約定,頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正,頂點按順時針方向排列的三角形面積為負。
共線向量基本定理
共線向量基本定理
證明:由定理1 即可得證。

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們