平行向量

平行向量

平行向量,也叫共線向量。是指方向相同或相反的非零向量。零向量和任何向量平行。

基本介紹

  • 中文名:平行向量
  • 外文名:Parallel vector
  • 別稱共線向量
  • 學科:數學
  • 隸屬:向量
  • 運算:加法、減法等
基本內容,線性運算,加法運算,減法運算,數乘運算,充要條件,比較,例題,

基本內容

向量:既有大小又有方向的量叫向量。
零向量:長度為0的向量,記作
單位向量:長度為1個單位長度的向量。
平行向量:也叫共線向量,方向相同或相反的非零向量。
相等向量:長度相等且方向相同的向量。
相反向量:長度相等且方向相反的向量。

線性運算

加法運算

對於零向量和任意向量
,有:
。向量的加法滿足所有的加法運算定律
三角形法則:已知從點A出發的向量
與從點B出發的向量
相加,則以A為起點的向量
即為它們之和。
平行四邊形法則:已知兩個從同一點O出發的兩個向量
,以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則以O為起點的對角線向量
就是向量
的和,這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則

減法運算

長度相等,方向相反的向量,叫做
的相反向量,
,零向量的相反向量仍然是零向量。
(1)
;(2)
以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點(三角形法則)。

數乘運算

實數λ與向量
的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作
。當λ > 0時,
的方向和
的方向相同,當λ < 0時,
的方向和
的方向相反,當λ = 0時,
= 0,方向任意。
設λ、μ是實數,那么:(1)
;(2)
(3)
;(4)
兩個非零向量的數量積:
。數量積滿足交換律、分配律,不滿足結合律。

充要條件

向量平行(共線)充要條件的兩種形式:
(1)
(2)

比較

共線向量與平行向量關係
由於任何一組平行向量都可移到同一直線上,故平行向量也叫做共線向量。
平行向量與相等向量的關係
相等的向量一定平行,但是平行的向量並不一定相等。兩個向量相等並不一定這兩個向量一定要重合。只用這兩個向量長度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含著向量平行的含義。

例題

例1.下列命題正確的是( )
A.
共線,
共線,則
也共線
B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點
C.向量
不共線,則
都是非零向量
D.有相同起點的兩個非零向量不平行
解析:由於零向量與任一向量都共線,所以A不正確;由於數學中研究的向量是自由向量,所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,所以B不正確;向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點是否相同無關,所以D不正確;對於C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若
不都是非零向量,即
至少有一個是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有
共線,不符合已知條件,所以有
都是非零向量,所以應選C。

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