平面(數學名詞)

在空間中，到兩點距離相同的點的軌跡。在中，平面公式為A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0，其定義為與固定點(x0,y0,z0)的連線垂直於固定方向（A,B,C）的所有的點的集合。這兩種定義在數學上是一致的。

基本介紹

• 中文名：平面
• 定義：空間中，到兩點距離相同點的軌跡
• 解析幾何公式：A*(x-x0)+B*(y-y0)+C*(z-z0)=0
• 拼音：píng miàn 

平面的畫法

平面的畫法

水平的平面可以畫成一個平行四邊形，銳角畫成45°，鈍角畫成135°，橫邊是鄰邊的2倍。

平面

具體畫法可以根據題意，方便做題就可以

平面表示方法

平面表示方法：

（1）用希臘字母α、β、γ寫在一個角上。如平面α、平面β。

（2）用四個頂點的字母或者對角線的字母。如平面ABCD、平面AC。

平面與直線

1、點A在平面α內，記作A∈α；點B不在平面α內，記作B不屬於α。

2、點P在直線l上，記作P∈l；點P在直線l外，記作P不屬於I。

3、如果直線l上的所有點都在平面α內，就說直線l在平面α內，或者平面α經過直線l，記作l⊂α，否則說直線l在平面α外，記作l不屬於α。

4、平面α、β相交於直線l，記作α∩β=l。

5、直線a在平面α內 記作 a⊂α

公理

公理一　如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。

公理二　過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理三　如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

公理四平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

推論

推論一　經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。

推論二　經過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論三　經過兩條平行直線，有且只有一個。

平面相交的判定

如果兩個平面有一個公共點，就說這兩個平面相交。

線面平行的判定

平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

平面平行的判定

一　如果一個平面內有兩條相交直線都平行於另一個平面，那么這兩個平面平行。

二　垂直於同一條直線的兩個平面平行。

線面平行的性質

一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線平行。

平面平行的性質

一如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

二如果一條直線在一個平面內，那么與此平面平行的平面與該直線平行。

線面垂直的判定

一一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

二如果一條直線垂直於一個平面，那么與這條直線平行的直線垂直於該平面。

平面垂直的判定

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

線面垂直的性質

一 垂直於同一個平面的兩條直線平行。

二 若直線垂直於平面，則直線垂直於這個平面的所有直線。

三平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

平面垂直的性質

兩個平面垂直，則一個平面內垂直於交線的直線與另一個平面垂直。

符號表示

(1)α∩β=A→α∩β=l,l⊂α

(2)l⊄α,l//m,m⊂α→l//α

(3)m⊂α,n⊂α,m∩n=O,m//β,n//β→α//β

(4)α⊥l,β⊥l→α//β

(5)l//α,l⊂β,α∩β=m→l//m

(6)α//β,α∩γ=l,β∩γ=m→l//m

(7)α//β,l⊂α→l//β

(8)l⊥m,l⊥n,m∩n=O,m⊂α,n⊂α→l⊥α

(9)m//n,α⊥m→n⊥α

(10)l⊂α,l⊥β→α⊥β

(11)α⊥m,α⊥n→m//n

(12)l⊥α,m⊂α→l⊥m

(13)α⊥β,α∩β=l,m⊥l,m⊂α→m⊥β

平面方程

平面

在空間中，到兩點距離相等的點的軌跡叫做平面。

平面方程

根據定義，設動點為M（x，y，z），兩點分別為（a，b，c）和（d，e，f）

則[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2

x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz+(a^2+b^2+c^2)=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)

(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)=0

形式為ax+by+cz+d=0

平面的法向量

取平面內三點：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c) 　AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c) 　設向量n：(x,y,c)為平面的法向量，則 　2y-2b=0 x+y-(a+b)=0 　->y=b x=a 　則n=(a,b,c)為平面的一個法向量。

平面切割

直線切割平面

直線切割平面是指用直線將平面劃分成多個部分。

n條直線最多將平面分割成1+ 個部分，最少將平面分割成n+1個部分。

證明：（1）有一條直線時，最少分成2部分，最多分成1+1=2部分；
（2）有兩條直線時，最少分成4部分，最多分成1+1+2=4部分，此時兩直線有一個交點；
（3）有三條直線時，最少分成6部分，最多分成1+1+2+3=7部分，此時三條直線有三個交點；
（4）設直線條數有n條，分成的平面最多有a個，最少有b個，有以下規律：
a=1+1+…+（n-1）+n= +1，此時n條直線有n個交點；b=2n；

圓切割平面

圓切割平面是指用圓將平面劃分成多個部分。

n個圓最多將平面分割成2+n（n-1）個部分，最少將平面分割成2n個部分。

證明：

設n個圓最多可以把平面分成S(n)個部分.
則可得：
S(1)=2；
S(2)=4；
...
前n-1個圓最多將平面分成S(n-1)個部分,此時,對於第n個圓來說,它與先前的n-1個圓最多有2(n-1)個交點,即此第n個圓最多被這2(n-1)個交點分成2(n-1)條圓弧段.由於每增加一個圓弧段,便可將原來的某個區域分為兩個區域（此處最好看圖分析）.因此,第n個圓使平面增加了2(n-1)個區域.因此可得遞推關係式：
S(n)=S(n-1)+2(n-1), 其中n大於等於2.
由此遞推關係式得到：
S(n)=S(1)+2*1+2*2+...+2*(n-1)=2+n*(n-1)=2+n（n-1）；
即n個圓最多可以把平面分成2+n（n-1）個部分。

證明最少同直線。

三角形切割平面

三角形切割平面是指用三角形將平面劃分成多個部分。

n個三角形最多將平面分割成3n（n-1）+2個部分，最少將平面分割成2n個部分。

證明：平面本身是1部分．一個三角形將平面分成三角形內、外2部分，即增加了1部分，

兩個三角形不相交時將平面分成3部分，相交時，交點越多分成的部分越多（見下圖）；

由上圖看出，新增加的部分數與增加的交點數相同，所以，再畫第3個三角形時，應使每條邊的交點儘量多；
對於每個三角形，因為1條直線最多與三角形的兩條邊相交，所以第3個三角形的每條邊最多與前面2個三角形的各兩條邊相交，共可產生3×（2×2）=12（個）交點，即增加12部分；
因此，3個三角形最多可以把平面分成：1+1+6+12=20（部分）；
由上面的分析，當畫第n（n≥2）個三角形時，每條邊最多與前面已畫的（n-1）個三角形的各兩條邊相交，
共可產生交點：3×[（n-l）×2]=6（n-1）（個），能新增加6（n-1）部分，
因為1個三角形時有2部分，所以n個三角形最多將平面分成的部分數是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×=2+3n（n-1），

證明最少同直線。

有關平面的關係

直線和平面

設直線方程為x=kz+b,y=lz+a,平面方程為cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f

屬於：p=0,q=0

平行：p=0,q≠0

相交：p≠0

垂直：c/k=l/d=e

平面和平面

設平面a的方程為ax+by+cz+d=0平面b的方程為a1x+b1y+c1z+d1=0

((|a||+|b|+|c|+|d|)^2(|a1+|b1+|c1|+|d1|)^2>0)

相交：不平行也不重合

平行：a/a1=b/b1=c/c1≠d/d1

重合：a/a1=b/b1=c/c1=d/d1

垂直：aa1+bb1+cc1+dd1=0

有關平面的關係

空間的角

設平面e、f的法向量為c、d 直線m的方向向量為a (把直線z=kx+b,z=ly+a的方向向量(k,l,1)代入，

把平面ax+by+cz+d=0的法向量(a,b,c)代入

直線和平面所成的角：

設b為m和e所成的角，則b=π/2±<a,c>。sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|

二面角：當雙法向量的朝向一致時，平面e、f的法向量為c、d

設二面角e-e∩f-f為a，那么a=π-<c,d>=π-|c*d|/|c||d|

當雙法向量的朝向不一致時，平面e、f的法向量為c、d

設二面角e-e∩f-f為a，那么a=<c,d>=|c*d|/|c||d|

空間距離的求解

點到平面的距離：設PA為平面的一條斜線，O是P點在a內的，PA和a所成的角為b，n為a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離；

平面到平面的距離為在平面上一點到平面的距離；

點到直線的距離：A∈l,O是P點在l上的射影，PA和l所成的角為b，s為l的方向向量。

易得：|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|