基本介紹
內容簡介,創作背景,作品思想,數形結合,模型化思想,相對關係,邏輯定義,數學成就,算術,幾何,代數,後世影響,古代影響,現代影響,版本信息,校注版本,出版版本,
內容簡介
《九章算術》是《算經十書》中最重要的一部，成於公元一世紀左右。其作者已不可考，一般認為它是經歷代各家的增補修訂，而逐漸發展完備成為現今定本的，西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最後成書最遲在東漢前期，現今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年（263年），劉徽為《九章》所作的注本。
《九章算術》
《九章算術》內容十分豐富，全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時，《九章算術》在數學上還有其獨到的成就，不僅最早提到分數問題，也首先記錄了盈不足等問題。《方程》章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。它是一本綜合性的歷史著作，是當時世界上最簡練有效的套用數學，它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。
2020年4月，列入《教育部基礎教育課程教材發展中心 中小學生閱讀指導目錄（2020年版）》國中段。
創作背景
《九章算術》早期文本的編纂時間及經過,歷代聚訟,眾說不一,目前為止,最明確而中肯的論定還是出自劉徽的《九章算術注·原序》：昔在庖犧氏始畫八卦,以通神明之德,以類萬物之情,作九九之術,以合六爻之變。……按：周公制禮而有九數,九數之流,則《九章》是矣。往者暴秦焚書,經術散壞。自時厥後,漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,各稱刪補。故校其目則與古或異,而所論者多近語也。
《九章算術》
郭書春認為劉徽關於《九章算術》編纂的論述是完全正確的。他說：“《九章算術》由先秦‘九數’發展而來的,是張蒼、耿壽昌在先秦遺文的基礎上先後整理、加工、增補而成的,它的最後編定者是耿壽昌,時在公元前一世紀中葉。”但在早期文本的流傳過程中書名的確定尚存諸多疑點,據現有史料推測,《九章算術》書名出現應晚於文本的編定,約於公元一世紀後期。
1984年，在湖北出土了《算數書》書簡。據考證，它比《九章算術》要早一個半世紀以上，書中有些內容和《九章算術》非常相似，一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係，但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。
作品思想
數形結合
數學和形是數學中最基本的原始概念，《九章算術》開創了中國古代數學中數形結合的獨特的研方法其現用的計來解的研究論題如“開方”“開立”種種平面圖形和立體圖形的求積問題，都用數的計算，即著重於考察圖形中的數的關係，算出確定的數值.同時亦用形的直觀來解釋數的算法如對“開方”“開立”等為以圖形作解釋打下基礎（實際的解釋是劉徽完成的,在劉徽的注文中,更發展為“析理以釋解體用圖”的系統方法）。
數形結合的思想有助於數學的各個領域的融匯貫通,有助於發揮數學思維的整體性,使之更為深刻,靈活,是現代數學教學中強調的基本數學思想之一。
模型化思想
數學模型是為了解決現實世界問題而建立的，數學模型是人們認識原型的方式之一。結合方程，構建數學模型數學套用問題是包含了一個或多個數量關係的具體情節或事件，解決數學套用問題的過程就是從情節中抽象並理順數量關係的過程，方程是有效地表達、處理、交流和傳遞信息的工具，是反映客觀事物數量變化規律的一種模型。數學套用問題可以以方程為途徑，構建數學模型來解決，在這種情況下所構建的就是方程模型。
《九章算術》做了許多屬於建立和使用數學模型的工作。它的“九章”內至少有三章——盈不足、方程、勾股——提供的就是基本的數學模型。
相對關係
劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質，基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數相與者謂之率，把率定義為數量的相互關係。又如他把正負數定義為今兩算得失相反，要令正負以名之，擺脫了正為余，負為欠的原始觀念，從本質上揭示了正負數得失相反的相對關係。
《九章算術》的算法儘管抽象，但相互關係不明顯，顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運算的綱紀。許多問題，只要找出其中的各種率關係，通過乘以散之，約以聚之，齊同以通之，都可以歸結為今有術求解。
一平面（或立體）圖形經過平移或旋轉，其面積（或體積）不變。把一個平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等。基於這兩條不言自明的前提的出入相補原理，是中國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。
邏輯定義
劉徽對《九章算術》中的所有數學概念都做了解釋或邏輯定義，在解釋和定義中，他非常注意數學推理的邏輯性，充分考慮各問題之間的邏輯關係. 在“勾股”章的注釋中，明確指出：這一章之所以一開頭就提出了勾股定理，是因為“將以施於諸率，故先具此術，以見其源也”. 劉徽用這一精彩的論述，從“邏輯”角度注釋了勾股定理出現在“勾股”章開頭的必要性. 劉徽認為有些問題不能只限於感性認識，必須在感性認識的基礎上提升到理性認識的層面，並在理性認識的基礎上形成數學理論. 因而，他從邏輯嚴謹性出發，對於那些能從邏輯上證明的法則都進行了論證。
數學成就
算術
《九章算術》中還有求最大公約數和約分的方法。求最大公約數的方法稱為“更相減損”法，其具體步驟是“可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。”這裡所說的“等數”就是最大公約數。可半者是指分子分母都是偶數，可以折半的先把它們折半，即可先約去2。不都是偶數了，則另外擺（即副置）分子分母算籌進行計算，從大數中減去小數，輾轉相減，減到餘數和減數相等，即得等數。
在《九章算術》的第二、三、六等章內，廣泛地使用了各種比例解套用問題。粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下：“粟米之法：粟率五十，糲米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”這是說：穀子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一題：“今有粟米一斗，欲為糲米，問得幾何”。它的解法是：“以所有數乘所求率為實，以所有率為法，實如法而一”。
《九章算術》第七章“盈不足”專講盈虧問題及其解法其中第一題：“今有（人）共買物，（每）人出八（錢），盈（余）三錢；人出七（錢），不足四（錢），問人數、物價各幾何”，“答曰：七人，物價53（錢）。”“盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。令維乘（即交錯相乘）所出率，並以為實，並盈，不足為法，實如法而一……置所出率，以少減多，余，以約法、實。實為物價，法為人數”。盈不足術是中國數學史上解套用問題的一種別開生面的創造，它在中國古代算法中占有相當重要的地位。盈不足術還經過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為“契丹算法”，後來又傳入歐洲，中世紀時期“雙設法”曾長期統治了他們的數學王國。
幾何
《九章算術》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計算方法。《九章算術》方田章第一題“今有田廣十五步，從（音縱zong）十六步。問為田幾何。”“答曰：一畝”。這裡“廣”就是寬，“從”即縱，指其長度，“方田術曰：廣從步數相乘得積步，（得積步就是得到乘積的平方步數）以畝法二百四十步（實質應為積步）除之，即畝數。百畝為一頃。”當時稱長方形為方田或直田。稱三角形為圭田，面積公式為“術曰：半廣以乘正從”。這裡廣是指三角形的底邊，正從是指底邊上的高，劉徽在注文中對這一計算公式實質上作了證明：“半廣者，以盈補虛，為直田也。”“亦可以半正從以乘廣”（圖1－30）。盈是多餘，虛乃不足。“以盈補虛”就是以多餘部分填補不足的部分，這就是中國古代數學推導平面圖形面積公式所用的傳統的“出入相補”的方法，由上圖“以盈補虛”變圭田為與之等積的直田，於是得到了圭田的面積計算公式。
九章算術
至於圓面積，在《九章算術》方田章第三十一、三十二題中，它的面積計算公式為：“半周半徑相乘得積步”。這裡“周”是圓周長，“徑”是指直徑。這個圓面積計算公式是正確的。只是當時取徑一周三（即π≈3）。於是由此計算所得的圓面積就不夠精密。
《九章算術》商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠，因其功用不同因而名稱各異，其實質都是正截面為等腰梯形的直稜柱，他們的體積計算方法：“術曰：並上、下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”。這裡上、下廣指橫截面的上、下底（a，b）高或深（h），袤是指城垣……的長（l）。因此城、垣…的體積計算術公式V=1/2（a+b）h.
劉徽還用棋驗法來推導比較複雜的幾何體體積計算公式。所謂棋驗法，“棋”是指某些幾何體模型即用幾何體模型驗證的方法，例如長方體本身就是“棋”[圖1－32（1）]斜解一個長方體，得兩個兩底面為直角三角形的直三稜柱，中國古代稱為“塹堵”（如圖1），所以塹堵的體積是長方體體積的二分之一。
代數
《九章算術》中的代數內容同樣很豐富，具有當時世界的先進水平。
1．開平方和開立方
《九章算術》中講了開平方、開立方的方法，而且計算步驟基本一樣。所不同的是古代用籌算進行演算，現以少廣章第12題為例，說明古代開平方演算的步驟，“今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何”。“答曰：二百三十五步”。這裡所說的步是中國古代的長度單位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置於第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置於最後一行，用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當）。議所得（指議得初商，由於實的萬位數字是5，而且2＜5＜3，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2於百位）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置於“實”下為“法”）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位）。復置借算步之如初，以複議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算於百位。因“實”的千位數字為15，且4×3＜15＜4×4，於是再議得次商為3。置3於商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。以所得副從定法，復除折下如前：這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位；又議得三商應為5，再置5於商的個位，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡，因此得平方根為235。）
上述由圖1－25（1）—（10）是按算籌進行演算的，看起來似乎很繁瑣，實際上步驟十分清楚，易於操作。它的開平方原理與現代開平方原理相同。其中“借算”的右移、左移在現代的觀點下可以理解為一次變換和代換。《九章算術》時代並沒有理解到變換和代換，但是這對以後宋、元時期高次方程的解法是有深遠影響的。
《九章算術》方程章中的“方程”是專指多元一次方程組而言，與“方程”的含義並不相同。《九章算術》中多元一次方程組的解法，是將它們的係數和常數項用算籌擺成“方陣”（所以稱之謂“方程”）。消元的過程相當於現代大學課程高等代數中的線性變換。
由於《九章算術》在用直除法解一次方程組過程中，不可避免地要出現正負數的問題，於是在方程章第三題中明確提出了正負術。劉徽在該術的注文里實質上給出了正、負數的定義：“兩算得失相反，要令‘正’、‘負’以名之”。並在計算工具即算籌上加以區別“正算赤，負算黑，否則以邪正為異”。這就是規定正數用紅色算籌，負數用黑色算籌。如果只有同色算籌的話，則遇到正數將籌正放，負數時邪（同斜）放。宋代以後出現筆算也相應地用紅、黑色數碼字以區別正、負數，或在個位數上記斜劃以表示負數，如（即—1824），後來這種包括負數寫法在內的中國數碼字還傳到日本。
關於正、負數的加減運算法則，“正負術曰：同名相益，異名相除，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之”。這裡所說的“同名”、“異名”分別相當於所說的同號、異號。“相益”、“相除”是指二數相加、相減。術文前四句是減法運算法則：
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果被減數絕對值小於減數絕對值，即b＞a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一式的a和a對消，而（b-a）無可對消，則改“正”為“負”，即“正無入負之”。“無入”就是無對，也就是無可對消（或不夠減或對方為零）。
②如果兩數皆負
則（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在中間的式子裡（-a）和（-a）對消，而-（b-a）無可對消，則改“負”為“正”所以說“負無入正之”。
③如果兩數一正一負。則仍同（1）的異名相益。
術文的後四句是指正負數加法運算法則。
（1）同號兩數相加，即同名相益，其和的絕對值等於兩數絕對值和。
如果a＞0，b＞0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異號兩數相加，實為相減，即異名相除。如果正數的絕對值較大，其和為正，即“正無入正之”。如果負數的絕對值較大，其和為負，即“負無入負之”。用符號表示為
①如果a＞b≥0，
則 a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或 （-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b＞a≥0，
則 a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或 （-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關於正負數的乘除法則，在《九章算術》時代或許會遇到有關正負數的乘除運算。可惜書中並未論及，直到元代朱世傑於《算學啟蒙》（1299年）中才有明確的記載：“同名相乘為正，異名相乘為負”，“同名相除所得為正，異名相除所得為負”，因此至遲於13世紀末中國對有理數四則運算法則已經全面作了總結。至於正負數概念的引入，正負數加減運算法則的形成的歷史記錄，中國更是遙遙領先。國外首先承認負數的是七世紀印度數學家婆羅門岌多（約598-？）歐洲到16世紀才承認負數。
後世影響
古代影響
《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創造；“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際套用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。
祖沖之
《九章算術》是幾代人共同勞動的結晶，它的出現標誌著中國古代數學體系的形成．後世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書。可以說，《九章算術》是中國為數學發展做出的又一傑出貢獻。
在九章算術中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如，關於比例算法的問題，它和後來在16世紀西歐出現的三分律的算法一樣。關於雙設法的問題，在阿拉伯曾稱為契丹算法，13世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的，這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。
《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。《九章算術》的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出解法，不同於西方以演繹為主的敘述方式，中國後來的數學著作也都是採用敘述方式為主。歷代數學家有不少人曾經注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的注釋最有名。
《九章算術》還流傳到了日本和朝鮮，對其古代的數學發展也產生了很大的影響。
作為一部世界數學名著，《九章算術》早在隋唐時期即已傳入朝鮮、日本。它已被譯成日、俄、德、法等多種文字版本。
現代影響
2020年4月，列入《教育部基礎教育課程教材發展中心 中小學生閱讀指導目錄（2020年版）》國中段。
《九章算術》作為我國數學歷史上的經典名作，是數學文化中必不可少的史料。蘇教版、人教版以及北師大版三種版本的國中數學教材均在相關知識內容介紹了《九章算術》的史料。
版本信息
校注版本
關於對《九章算術》所做的校注主要有：西漢張蒼增訂、刪補，三國時曹魏劉徽注，唐李淳風注，南宋楊輝著《詳解九章算法》選用《九章算術》中80道典型的題作過詳解並分類，清李潢（？—1811年）所著《九章算術細草圖說》對《九章算術》進行了校訂、列算草、補插圖、加說明，尤其是圖文並茂之作。
現代錢寶琮（1892—1974年）曾對包括《九章算術》在內的《算經十書》進行了校點，用通俗語言、近代數學術語對《九章算術》及劉、李注文詳加注釋。80年代以來，今人白尚恕、郭書春、李繼閔等都有校注本出版。
