古代數學，起源於人類早期的生產活動，產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測天文事件。我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。
基本介紹
- 中文名：古代數學
- 起源於：人類早期的生產活動
- 產生：於商業上計算的需要了解數字間的
- 測量：土地及預測天文事件
中西解析,發展歷史,主要著作,數學名言,
中西解析
從中西古代數學文化史的比較意義上分析，形成中西古代數學的兩種傾向：邏輯演繹傾向和機械化算法傾向，其作用與構造差異主要是由文化系統賦予的文化層次及其價值取向的差異造成的，這兩種傾向的對立統一就構成了數學自身內在的矛盾運動和發展動力。
宋刻算經
宋刻算經數學文化史的研究表明，人類古代數學作為文化系統中一個操作運演的子系統，從一開始就具有雙重功能（或稱為雙重特性），即數量性的功能和神秘性的功能（註：王憲昌，《數學與人類文明》，延安大學出版社，1990年第58-70頁。）。而不同民族文化中的數字或數學都在特定的文化氛圍中有某些神秘性，而且不同民族文化中的數學神秘性發展的道路是各不相同的。
在古希臘文化的發展中，原始數學始終沿著神秘性和數量性的雙重功能統一性繼承的軌道向前發展。古希臘數學與神秘性的結合，使得他們從宗教、哲學的層次追求數學的絕對性以及解釋世界的普遍性地位，這正是古希臘數學完全脫離實際問題，追求邏輯演繹的嚴謹性的文化背景。
因此，從數學文化史的意義上分析，發端於古希臘的西方數學不僅僅是一個數學意義的運演作業系統，更主要的是它作為一種文化系統中起主導作用的理性解釋系統，或者稱之為一種理性構造的規範模式。在西方文化中，西方數學解釋宇宙的變化，引導理性的發展，參與物質世界的表述，任何學科的構建都必須按照文化理性的要求模仿和運用數學的模式。用數學解釋一切是西方數學在與其適應的文化獲取的價值觀念。
在中國文化發展中，我國古代數學籌算操作的機械化運演形成的計算體系來源於作為原始數學的竹棍操作運演在歷史進程中的演化。
中國古代是藉助於竹棍為特定物進行數字、數學操作運演的民族。中國古代數學具有外算與內算的雙重功能，即“算數萬物”的算術性功能和神秘主義的解釋性功能。
因此，中國古代數學不僅未形成以宗教、哲學的層次思辨自己的方法、結構形式，而是形成了專司具體數學問題的特徵。中國古代數學在文化傳統中的價值取向就是在籌算運演機械重複的條件下盡力構造簡明的運演方法，準確迅速地解決實踐提出的具體問題。
中國傳統的價值觀念以及籌算的技藝型價值取向，決定了中國古代數學的發展和構造模式，這種籌算數學的價值取向保證了中國古代數學機械化特色的發展方向，注重數學實際套用的層次不斷發展，機械化的計算技術和水平不斷提高。中國古人藉助於算籌這一特殊工具，將各種實際問題分門別類，進行有效的布列和推演，在比率算法、“方程”術、開方術、割圓術、大衍求一術、天元術、四元術、垛積招差術等等方面都取得輝煌成果，在宋元時期數學達到高潮。元代以後發展的珠算制是籌算制的發展改革和繼續，可以說，中國傳統數學在數量關係上是以算籌制為主線貫穿一起，以提高機械化的計算技術來解決實際問題為目標的。同時，文化價值觀的傳統特點也造就了一批傳播和發展作為技藝數學的群體，這是促進數學機械化發展的人才優勢，尤其是在相對穩定的文化環境中，其傳統價值觀念發揮了重要作用。
從文化價值系統發展的階段分析，我國的籌算體系和模式在宋元時期達到數學的高峰在很大程度上是算法機械化達到最高水平。賈憲三角和增乘開方法是對《九章》以來開方程式的重大提高和創造，秦九韶的正負開方術又把增乘開方法發展到十分完備的境地，其大衍求一術也是在歷代對“上元積年”推算基礎上將“物不知數”問題解法發展到最一般的機械化程式。李冶的天元術更是對列方程算法的重大改進和突破，同時也是幾何代數化思想的完美體現。從天元術到四元術，是解一般高次方程向多元高次方程組發展的必然結果和要求。因此，我國在宋元時期算法機械化達到空前的高水平，是與傳統數學文化價值觀的要求相一致的，是我國籌算文化排列模式和變換技術長期積累後的自然發展，它是我國籌算體系下的數學計算以快速、準確、簡潔解決一類具體問題而發展自己的操作運演的必然趨勢和結果。
由上文對中西古代數學文化史的比較意義上分析，中西古代數學的作用與構造差異主要是由文化系統賦予它的文化層次及其價值取向的差異造成的，可以說，西方數學著作的構造模式及其理性作用是不會在中國文化中出現的，因此，在古今數千年的數學發展中，形成不同時期、不同地域的中西數學的兩種傾向：邏輯演繹傾向和機械化算法傾向都是歷史文化中的必然。以古希臘歐幾里德《幾何原本》為代表的邏輯演繹傾向和以《九章算術》為代表的機械化算法傾向互動作用，“輪流執政”，共同以各自的構造模式、思維方式、運演規律及結構特徵對世界數學的發展作出了貢獻。
從數學文化史的角度來說，中國技藝套用型的操作運演系統蘊育了中國古代數學算法機械化的成功。中國數學以區別於西方數學的獨特風格和特點，在中世紀世界數學史、文明史上，燦爛的古希臘數學衰落之後，曾一度占據了世界數學研究的重心，直到14世紀初。中國傳統數學的輝煌成就標誌著籌算體系下的機械化算法的巨大成功，而元中期珠算盤和珠算術的套用和發展是我國機械化算法體系的繼續，它是對算籌計算工具的重大改進和發展，是對計算技術改革的歷史必然。珠算的普及套用，大大提高了計算速度和效率，簡化了機械化的操作程式和繁瑣步驟，適應了農業、手工業、商業的發展對數學中大量繁雜計算的實際需要，因此，算盤和珠算術的出現和普遍套用及其發展，同樣既是中國傳統數學的獨特創造的偉大發明，同時又是對世界科技和文明的重大貢獻。
然而，在對待中國傳統數學和西方數學對世界科技和文明所作出的貢獻這個問題上，長期以來，人們使用的數學評判標準多數卻是在西方數學中形成的西方中心論。這種中心論者認為當代數學的巨大成就是沿著自古希臘人以來所走過的唯一一條王者之路而發展來的。沒有達到嚴格演繹的知識不能算為科學，只有西方數學與其他學科的關係是近代科學發展的關鍵性的必要條件。
西方中心論的評判標準的理論基礎是西方數學哲學，自覺或不自覺地把西方數學的模式思維方式和價值標準，作為評價世界上不同國家和地區數學（包括中國的傳統數學乃至東方數學）與科學的唯一標準。從數學文化史的研究表明，在對待中國古代數學與其他自然科學的基礎上，這種判斷和比較不是在對中國古代數學理性思辨的基礎上形成的，忽略了中國竹棍式數學演化流變的文化特徵與西方數學的文化差異。
總之，中西古代數學在其民族文化中價值觀念的差異，是我們數學史研究中應當十分注意的問題。在人類文化史中，人們可以發現每一種文化系統都有其特定的數學發展和構造模式，對人類古代數學的比較，應從不同文化系統的數學模式中，提煉出人類古代數學的共有規律，並以此為價值尺度來客觀、公正地評價。中國古代數學是在中國文化中產生髮展的，它不會也不可能按照西方數學的模式來發展，因此我們評判中國古代數學時就不應當照搬西方數學的評價。
在中西文化的差異中，我們深刻地體會到，西方數學的模式不會也不可能是人類數學的唯一發展模式，西方數學的價值標準不應該實際上也不可能成為人類古代數學唯一的評價標準。這正如像N.席文提問的那樣：“為什麼評判非歐文明史總是以其是否或接近於歐洲早期科學或近代科學的某些方面為試金石，為什麼早期歐洲科學無需檢驗呢？”
發展歷史
先秦時期
黃河流域和長江流域是中華民族文化的搖籃，大約在公元前2000年，在黃河中下游產生了第一個奴隸制國家──夏朝。其後有商、殷兩代（約1500B.C-1027B.C）、及周朝（1027B.C-221B.C）。歷史上又稱公元前八世紀至秦王朝的建立（221B.C）為春秋戰國時期。
據《易。繫辭》記載：“上古結繩而治，後世聖人易之以書契”。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數文字，共有13個獨立符號，記數用合文書寫，其中有十進位制的記數法，出現最大的數字為三萬。
算籌是中國古代的計算工具，而這種計算方法稱為籌算。算籌的產生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時代已很普遍。
用算籌記數，有縱、橫兩種方式：
123456789
縱式
表示一個多位數字時，採用十進位值制，各位值的數目從左到右排列，縱橫相間（法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當），並以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運算建立起良好的條件。
在幾何學方面《史記。夏本記》中說夏禹治水時已使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，並早已發現“勾三股四弦五”這個勾股定理（西方稱畢氏定理）的特例。戰國時期，齊國人著的《考工記》匯總了當時手工業技術的規範，包含了一些測量的內容，並涉及到一些幾何知識，例如角的概念。
戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，一些學派還總結和概括出與數學有關的許多抽象概念。著名的有《墨經》中關於某些幾何名詞的定義和命題，例如：“圓，一中同長也”、“平，同高也”等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。 《莊子》記載了惠施等人的名家學說和桓團、公孫龍等辯者提出的論題，強調抽象的數學思想，例如“至大無外謂之大一，至小無內謂之小一”、“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數學命題是相當可貴的數學思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴密性的新思想未能得到很好的繼承和發展。
此外，講述陰陽八卦，預言吉凶的《易經》已有了組合數學的萌芽，並反映出二進制的思想。
漢唐時期
這一時期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數學發展，所經歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。
秦漢是中國古代數學體系的形成時期。為使不斷豐富的數學知識系統化、理論化，數學方面的專書陸續出現。
西漢末年（公元前一世紀）編纂的天文學著作《周髀算經》在數學方面主要有兩項成就：（1）提出勾股定理的特例及普遍形式；（2）測太陽高、遠的陳子測日法，為後來重差術的先驅。此外，還有較複雜的開方問題和分數運算等。
《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書於東漢初年（公元一世紀）。全書採用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關於線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重套用，注重理論聯繫實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進位值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，並通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展。
魏晉時期中國數學在理論上有了較大的發展。其中趙爽和劉徽的工作被認為是中國古代數學理論體系的開端。趙爽是中國古代對數學定理和公式進行證明的最早的數學家之一，對《周髀算經》做了詳盡的注釋。劉徽注釋《九章算術》，不僅對原書的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，且在論述過程中多有創新，更撰寫《海島算經》，套用重差術解決有關測量的問題。劉徽其中一項重要的工作是創立割圓術，為圓周率的研究工作奠定理論基礎和提供了科學的算法。
南北朝時期的社會長期處於戰爭和分裂狀態，但數學的發展依然蓬勃。 《孫子算經》 、 《夏侯陽算經》 、 《張丘建算經》就是這個時期的作品。《孫子算經》給出“物不知數”問題，導致求解一次同餘組問題；《張丘建算經》的“百雞問題”引出三個未知數的不定方程組問題。
祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時期最具代表性，他們在《九章算術》劉徽注的基礎上，將傳統數學大大向前推進了一步，成為重視數學思維和數學推理的典範。他們同時在天文學上也有突出的貢獻。其著作《綴術》已失傳，根據史料記載，他們在數學上主要有三項成就：（1）計算圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113；（2）得到祖日桓定理（冪勢既同，則積不容異）並得到球體積公式；（3）發展了二次方程與三次方程的解法。
唐朝在數學教育方面有長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》 （包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》），作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。
此外，隋唐時期由於曆法需要，創立出二次內插法，為宋元時期的高次內插法奠定了基礎。而唐朝後期的計算技術有了進一步的改進和普及，出現很多種實用算術書，對於乘除算法力求簡捷。
宋元時期
唐朝亡後，五代十國仍是軍閥混戰的繼續，直到北宋王朝統一了中國，農業、手工業、商業迅速繁榮，科學技術突飛猛進。從公元十一世紀到十四世紀（宋、元兩代），籌算數學達到極盛，是中國古代數學空前繁榮，碩果纍纍的全盛時期。這一時期出現了一批著名的數學家和數學著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細草》（11世紀中葉），劉益的《議古根源》（12世紀中葉），秦九韶的《數書九章》（1247），李冶的《測圓海鏡》（1248）和《益古演段》（1259），楊輝的《詳解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《楊輝算法》（1274-1275），朱世傑的《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）等等。
宋元數學在很多領域都達到了中國古代數學，甚至是當時世界數學的巔峰。其中主要的工作有：
高次方程數值解法；
這一時期民間數學教育也有一定的發展，以及中國和伊斯蘭國家之間的數學知識的交流也得到了發展。
西學時期
這一時期從十四世紀中葉明王朝建立到二十世紀清代結束共500多年。數學除珠算外出現全面衰弱的局面，當中涉及到珠算的局限、十三世紀的考試制度中已刪減數學內容、明代大興八段考試制度等複雜的問題，不少中外數學史家仍探討當中涉及的原因。十六世紀末，西方初等數學開始傳入中國，使中國數學研究出現了一個中西融合貫通的局面。鴉片戰爭後，近代高等數學開始傳入中國，中國數學轉入一個以學習西方數學為主的時期。直到十九世紀末，中國的近代數學研究才真正開始。
明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統宗》 （1592）問世，珠算理論已成系統，標誌著從籌算到珠算轉變的完成。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。
隋及唐初，印度數學和天文學知識曾傳入中國，但影響較細。到了十六世紀末，西方傳教士開始到中國活動，和中國學者合譯了許多西方數學專著。其中第一部且有重大影響的是義大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷（1607），其嚴謹的邏輯體系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便套用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術。此外，《幾何原本》課本中絕大部分的名詞都是首創，且沿用至今。在輸入的西方數學中僅次於幾何的是三角學。在此之前，三角學只有零星的知識，而此後獲得迅速發展。介紹西方三角學的著作有鄧玉函編譯的《大測》（2卷，1631）、《割圓八線表》（6卷）和羅雅谷的《測量全義》（10卷，1631）。在徐光啟主持編譯的《崇禎曆書》（137卷，1629-1633）中，介紹了有關圓椎曲線的數學知識。
入清以後，會通中西數學的傑出代表是梅文鼎，他堅信中國傳統數學“必有精理”，對古代名著做了深入的研究，同時又能正確對待西方數學，使之在中國紮根，對清代中期數學研究的高潮是有積極影響的。與他同時代的數學家還有王錫闡和年希堯等人。
徐光啟等
清康熙帝愛好科學研究，他“御定”的《數理精蘊》（53卷，1723），是一部比較全面的初等數學書，對當時的數學研究有一定影響。
1898年建立京師大學堂，同文館併入。1905年廢除科舉，建立西方式學校教育，使用的課本也與西方其他各國相仿。
近現代
這一時期是從20世紀初至今的一段時間，常以1949年新中國成立為標誌劃分為兩個階段。
中國近現代數學開始於清末民初的留學活動。較早出國學習數學的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時的熊慶來（1915年轉留法），1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數回國後成為著名數學家和數學教育家，為中國近現代數學發展做出重要貢獻。其中胡明復1917年取得美國哈佛大學博士學位，成為第一位獲得博士學位的中國數學家。隨著留學人員的回國，各地大學的數學教育有了起色。最初只有北京大學1912年成立時建立的數學系，1920年姜立夫在天津南開大學創建數學系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學（今南京大學）和清華大學建立數學系，不久武漢大學、齊魯大學、浙江大學、中山大學陸續設立了數學系，到1932年各地已有32所大學設立了數學系或數理系。1930年熊慶來在清華大學首創數學研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內最早的數學研究生。三十年代出國學習數學的還有江澤涵（1927）、陳省身（1934）、華羅庚（1936）、許寶 （1936）等人，他們都成為中國現代數學發展的骨幹力量。同時外國數學家也有來華講學的，例如英國的羅素（1920），美國的伯克霍夫（1934）、奧斯古德（1934）、維納（1935），法國的阿達馬（1936）等人。1935年中國數學會成立大會在上海召開，共有33名代表出席。1936年《中國數學會學報》和《數學雜誌》相繼問世，這些標誌著中國現代數學研究的進一步發展。
主要著作
《張丘建算經》
《張丘建算經》三卷，據錢寶琮考，約成書於公元466～485年間.張丘建,北魏時清河(今山東臨清一帶)人,生平不詳。最低公倍數的套用、等差數列各元素互求以及“百雞術”等是其主要成就。“百雞術”是世界著名的不定方程問題。13世紀義大利斐波那契《算經》、15世紀阿拉伯阿爾·卡西<<算術之鑰》等著作中均出現有相同的問題。
《四元玉鑒》
朱世傑（1300前後），字漢卿，號松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數學名家週遊湖海二十餘年”，“踵門而學者雲集”。朱世傑數學代表作有《算學啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發展。《四元玉鑒》則是中國宋元數學高峰的又一個標誌，其中最傑出的數學創作有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）
《黃帝九章算經細草》
賈憲三角在西方文獻中稱“帕斯卡三角”，1654年為法國數學家 B·帕斯卡重新發現。
《數書九章》
秦九韶（約1202～1261），字道吉，四川安岳人，先後在湖北、安徽、江蘇、浙江等地做官，1261年左右被貶至梅州，不久死於任所。秦九韶與李冶、楊輝、朱世傑並稱宋元數學四大家。他早年在杭州“訪習於太史，又嘗從隱君子受數學”，1247年寫成著名的〈〈數書九章〉〉。〈〈數書九章〉〉全書共18卷，81題，分九大類（大衍、天時、田域、測望、賦役、錢穀、建設、軍旅、市易）。其最重要的數學成就——“大衍總數術”（一次同餘組解法）與“正負開方術”（高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上占有突出的地位。
《測圓海鏡》
李冶（1192～1279）原名李治，號敬齋，金代真定欒城人，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居治學，被元世祖忽必烈聘為翰林學士，僅一年，便辭官回家。1248年撰成《測圓海鏡》，其主要目的就是說明用開元術列方程的方法。“開元術”與現代代數中的列方程法相類似，“立天元一為某某”，相當於“設x為某某”，可以說是符號代數的嘗試。李冶還有另一部數學著作《益古演段》（1259），也是講解開元術的。
《九章重差圖》
合體而無所失矣。”劉徽採用了以直代曲、無限趨近、“內外夾逼”的思想，創立了“割圓術”
《重差》原為《九章算術注》的第十卷，即後來的《海島算經》，內容是測量目標物的高和遠的計算方法。重差法是測量數學中的重要方法。
祖沖之：（公元429年─公元500年）是我國傑出的數學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。他當時就把圓周率 精確到小數點後7位(3.1415926<圓周率<3.1415927)，比西方領先了1500年，並得出355/113的密率，22/7的約率。寫書《綴術》，記載了他計算圓周率的方法，不過已經失傳。
數學名言
數統治著宇宙。 ——畢達哥拉斯
數學，科學的女皇；數論，數學的女皇。 ——C·F·高斯
上帝創造了整數，所有其餘的數都是人造的。 ——L·克隆內克
上帝是一位算術家 ——雅克比
一個沒有幾分詩人氣的數學家永遠成不了一個完全的數學家。——維爾斯特拉斯
純數學這門科學再其現代發展階段，可以說是人類精神之最具獨創性的創造。——懷德海
可以數是屬統治著整個量的世界，而算數的四則運算則可以看作是數學家的全部裝備。——麥克斯韋
數論是人類知識最古老的一個分支，然而他的一些最深奧的秘密與其最平凡的真理是密切相連的。——史密斯
無限！再也沒有其他問題如此深刻地打動過人類的心靈。——D·希爾伯特
發現每一個新的群體在形式上都是數學的，因為我們不可能有其他的指導。——C·G·達爾文
宇宙的偉大建築是現在開始以純數學家的面目出現了。——J·H·京斯
這是一個可靠的規律，當數學或哲學著作的作者以模糊深奧的話寫作時，他是在胡說八道。——A·N·懷德海
給我五個係數，我將畫出一頭大象；給我六個係數，大象將會搖動尾巴。——A·L·柯西
純數學是魔術家真正的魔杖。——諾瓦列斯
整數的簡單構成，若干世紀以來一直是使數學獲得新生的源泉。——G·D·伯克霍夫
一個數學家越超脫越好。——無名氏
數學不可比擬的永久性和萬能性及他對時間和文化背景的獨立行是其本質的直接後果。——A·埃博
近現代以來，我國對於數學領域的研究取得的成果並不大，只有老一輩的陳景潤等佇立在世界數學的最高峰，但是年輕一輩沒有突出的數學大家。
