初等變換

初等變換（elementary transformation）是三種基本的變換，出現在《高等代數》中。初等變換包括：線性方程組的初等變換、行列式的初等變換和矩陣的初等變換，這三者在本質上是一樣的。

基本介紹

• 中文名：初等變換
• 外文名：Elementary transformation
• 歸屬學科：高等代數
• 適用於：線性方程組；矩陣；行列式
• 包括：三種基本的變換
• 套用：十分廣泛

初等變換

線性方程組

所謂一般線性方程組，是指形式為：

的方程組，其中，代表n個未知數，s 是方程的個數，稱為方程組的係數， 稱為常數項。

初等變換

一般採用消元法來解線性方程組，而消元法實際上是反覆對方程進行變換，而所做的變換也只是以下三種基本的變換所構成：

（1）用一非零的數乘以某一方程

（2）把一個方程的倍數加到另一個方程

（3）互換兩個方程的位置

於是，將變換（1）、（2）、（3）稱為線性方程組的初等變換。

矩陣初等變換

矩陣的初等變換又分為矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換。矩陣的初等行變換和初等列變換統稱為初等變換。另外：分塊矩陣也可以定義初等變換。

定義：如果B可以由A經過一系列初等變換得到，則稱矩陣A與B稱為等價

初等行變換

定義：所謂數域P上矩陣的初等行變換是指下列3種變換：

1）以P中一個非零的數乘矩陣的某一行

2）把矩陣的某一行的c倍加到另一行，這裡c是P中的任意一個數

3）互換矩陣中兩行的位置

一般來說，一個矩陣經過初等行變換後就變成了另一個矩陣，當矩陣A經過初等行變換變成矩陣B時，一般寫作

可以證明：任意一個矩陣經過一系列初等行變換總能變成階梯型矩陣。

初等列變換

同樣地，定義初等列變換，即：

1）以P中一個非零的數乘矩陣的某一列

2）把矩陣的某一列的c倍加到另一列，這裡c是P中的任意一個數

3）互換矩陣中兩列的位置

初等矩陣

定義：由單位矩陣E經過一系列初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。

引理：對一個矩陣A作一初等行變換，就相當於在A的左邊乘上相應的的初等矩陣；對A作一初等列變換，就相當於在A的右邊乘上相應的的初等矩陣。

行列初等變換

相關性質

性質1：行列互換，行列式不變

性質2：一數乘行列式的一行就相當於這個數乘此行列式

性質3：如果行列式中有兩行相同，那么行列式為0，所謂兩行相同，即兩行對應的元素都相等

性質4：如果行列式中，兩行成比例，那么該行列式為0

性質5：把一行的倍數加到另一行，行列式不變

性質6：對換行列式中兩行的位置，行列式反號

初等變換

以下為行列式的初等變換：

1）換行變換：交換兩行（列）。

2）倍法變換：將行列式的某一行（列）的所有元素同乘以數k。

3）消法變換：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一個數k並加到另一行（列）的對應元素上。

基於行列式的基本性質，對行列式作初等變換，有如下特徵：

換法變換的行列式要變號；倍法變換的行列式要變k倍；消法變換的行列式不變。求解行列式的值時可以同時使用初等行變換和初等列變換。