等腰梯形

等腰梯形(英文：isosceles trapezium)按照數學領域可定義為：一組對邊平行（不相等），另一組對邊不平行但相等的四邊形。等腰梯形是一個平面圖形，是一種特殊的梯形。

基本介紹

• 中文名：等腰梯形
• 外文名：isosceles trapezoid
• 基本特徵：兩腰相等的梯形
• 面積公式：（上底+下底）×高÷2
• 周長公式：上底+下底+2×腰
• 歸屬學科：數學

定義

一組對邊平行（不相等），另一組對邊不平行但相等的四邊形叫做等腰梯形。顧名思義，它是梯形的一種特殊情況，即兩腰相等的梯形。在等腰梯形中，如圖1，平行的兩邊叫做梯形的底邊，較長的一條底邊叫下底，即BC，較短的一條底邊叫上底，即AD。另外兩邊叫腰，即AB和CD。夾在兩底之間的垂線段叫梯形的高。

性質

1、等腰梯形同一底上的兩個內角相等。

2、兩腰相等，兩底平行，對角線相等 。

3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，如下圖，有 。

圖2 等腰梯形ABCD

4、中位線長是上下底邊長度和的一半，如圖2，中位線為EF，且 。

5、兩條對角線相等，如圖2，即

6、等腰梯形的面積公式：S=(上底+下底)×高÷2。

7、特殊面積計算：當對角線垂直時：如圖2，　。

8、等腰梯形對角線的平方等於腰的平方與上、下底積的乘積和，如圖2

9、等腰梯形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，過上下兩底中點的直線即為對稱軸。

判定

1、一組對邊相等且不平行，另一組對邊平行的四邊形是等腰梯形。

2、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。

3、對角線相等的梯形是等腰梯形。

4、兩腰相等的梯形是等腰梯形

以下判定不作為定理使用：

5、對角線相等且能形成兩個等腰三角形的四邊形是等腰梯形。

6、對角互補的梯形是等腰梯形。

面積公式

梯形的面積=（上底+下底）×高÷2；

用、、分別表示梯形的上底、下底、高，“S”表示梯形的面積，則。

特殊情況：

1. 若對角線互相垂直，則面積為1/2 兩對角線的乘積。

2.在已知中位線情況下，中位線×高。

面積推導：

設有兩個完全一樣的等腰梯形，將這兩個梯形拼成一個平行四邊形，則

平行四邊形底=等腰梯形上底和下底之和，平行四邊形高=等腰梯形的高，設上底為，下底為，高為，則平行四邊形面積，所以等腰梯形面積。

周長公式

等腰梯形的周長=上底+下底+2×腰 ，設等腰直角形上底為，下底為，腰為，高為，周長為

（1）已知上底、下底、腰，計算周長

。

（2）已知上底、下底、高

推導如下：

根據勾股定理，可求得腰長為：

故，等腰梯形周長為

常用輔助線

如圖2，為一些常用的輔助線。

1、平移一腰。

2、過上底兩點向下底兩點做垂線。

3、延長兩腰交於一點。

4、平移一條對角線。

圖3常用輔助線