球形

球形

球形(球形是日常生活中人們的叫法,嚴格的來說叫做球體,英文:sphere)是一種簡單空間幾何體。半圓以它的直徑為旋轉軸,旋轉所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體,簡稱。半圓的圓心叫做球心。連結球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。球心到球面上任意一點的距離都相等。連結球面上兩點並且經過球心的線段叫做球的直徑。

基本介紹

  • 中文名:球形
  • 外文名:sphere
  • 特點:球心到球面上的距離都相等
  • 舉例:保齡球
  • 簡稱:球
  • 領域:數學;幾何
簡介,性質,歐氏空間裡的球形,1.體積,一般度量空間裡的球形,賦范向量空間裡的球,1.p-範數,2.一般凸範數,拓撲空間裡的球形,1.開集,2.拓撲球,生活中常見球形,數學中的球形,其他球形物體,

簡介

數學里,球形是指球面內部的空間。球可以是封閉的(包含球面的邊界點,稱為閉球),也可以是開放的(不包含邊界點,稱為開球)。
球形的概念不只存在於三維歐氏空間里,亦存在於較低或較高維度,以及一般度量空間里。n 維空間裡的球稱為n 維球,且包含於 n-1 維球面內。因此,在歐氏平面里,球為一圓盤,包含在圓內。在三維空間里,球則是指在二維球面邊界內的空間。

性質

空間幾何體中,球形的表面勢能最小。球形是同體積幾何體中,表面積最小的 ,球形是同表面積幾何體中,體積最大的。球體是一種表面沒有稜角的幾何體

歐氏空間裡的球形

維歐氏空間裡,一個中心為
,半徑為
維(開)球是個由所有距
的距離小於
的點所組成之集合。一個中心為
,半徑為
維閉球是個由所有距
的距離小於等於
的點所組成之集合。
維歐氏空間裡,每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時,球是個有界的區間;在二維時,是某個圓的內部(圓盤);而在三維時,則是某個球面的內部。

1.體積

在 維歐氏空間裡,半徑 R 的球之 維體積為:
其中,Γ是李昂哈德·歐拉的Γ函式(可被視為階乘實數的延伸)。使用Γ函式在整數與半整數時的公式,可不需要估算 Γ 函式即可計算出球的體積:
在奇數維度時的體積公式里,對每個奇數
,雙階乘
定義為

一般度量空間裡的球形

為一度量空間,即具有度量(距離函式)
的集合
。中心為
內的點
,半徑為
的開球,通常標計為
,定義為
其閉球,可標計為
,則定義為
請特別注意,一個球(無論開放或封閉)總會包含點
,因為依定義,
開球的閉包通常標記為
。雖然
總是成立的,但
則不一定總是為真。舉例來說,在一個具離散度量的度量空間
里,對每個
內的
而言,{
,但
一個(開或閉)單位球為一半徑為 1 的球。
度量空間的子集是有界的,若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的,若給定一正值半徑,該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。
度量空間裡的開球為拓撲空間里的,其中所有的開集合均為某些(有限或無限個)開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量
導出之拓撲。

賦范向量空間裡的球

每個具範數 |·| 的賦范向量空間亦為一度量空間,其中度量
。在此類空間裡,每個球
均可視為是單位球
平移
,再縮放
後所得之集合。
前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦范向量空間裡球的一例。

1.p-範數

在具 p-範數
的笛卡爾空間
里,開球是指集合
在二維
時,
(通常稱為曼哈頓度量)的球是對角線平行於坐標軸的正方形;而
(切比雪夫度量)的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於
的其他值,該球則會是超橢圓的內部。
在三維
時,
的球是個對角線平行為坐標軸的八面體,而
的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於
的其他值,該球則會是超橢球的內部。

2.一般凸範數

更一般性地,給定任一
中心對稱有界、開放且的集合
,均可定義一個在
範數,該球均為 X 平移再一致縮放後所得之集合。須注意,若將此定理內的“開”子集以“閉”子集替代,則定理不能成立,因為原點也符合定理內所定之集合,但無法定義
內的範數。

拓撲空間裡的球形

拓撲學的文獻里,“球形”可能有兩種含義,由上下文決定。

1.開集

"球"一詞有時被非正式地用於指代任何開集:可以用
點周圍的一個球”代表包含的一個開集。該集合同胚於什麼依賴於背景拓撲空間以及所選取的開集。同樣,“閉球”有時用於表示這樣一個開集的閉包。(這可能產生誤導,例如超度量空間中一個閉球不是同樣半徑的開球的閉包,它們都是既開且閉的。)
有時,鄰域用於指代這個意義上的球,但是鄰域其實有更一般的意義:
的一個鄰域是任何包含一個的開集的集合,因此通常不是開集。

2.拓撲球

內的
維(開或閉)拓撲球是指 X 內同胚
維(開或閉)歐幾里得球的任一子集,該子集不一定需要由某個度量導出。n 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要,為建構胞腔復形的基礎。
任一
維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間
維開單位超方形
。任一
維閉拓撲球均同胚於
維閉超方形 [0,1]。
維球同胚於
維球,若且唯若
維開球
間的同胚可分成兩種類型,以
的兩種可能之拓撲定向來區分。
一個
維拓撲球不一定是光滑的;若該球是光滑的,亦不一定需微分同胚於一
維歐幾里得球

生活中常見球形

由於球體的物理特性,因此生活中很多地方都可以看到球體:
核武器中核子彈(裂變彈)的製造。球形是臨界質量最小的一種形狀,從單位球形裂變材料中逃逸出來的中子數最少,因此採用裸球,鈾235鈽239的臨界質量分別為52和10千克(鈾235的密度小於鈽239)。
表面張力的作用下,液滴總是力圖保持球形,這就是我們常見的樹葉上的水滴按近球形的原因。藻類體形多樣,但細胞具有趨同的球形或近似球形,是有利於浮游生活的適應。
物質總自然趨於勢能最低的狀態!球形(或橢球體)是宇宙中大質量天體保持內部受力均衡的主要形式之一。

數學中的球形

半圓以它的直徑為旋轉軸,旋轉所成的曲面叫做球面。球面所圍成的幾何體叫做球體,簡稱。半圓的圓心叫做球心。連結球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑。連結球面上兩點並且經過球心的線段叫做球的直徑。用一個平面去截一個球,截面是圓面。球的截面有以下性質:
1) 球心和截面圓心的連線垂直於截面;
2) 球心到截面的距離
與球的半徑
及截面的半徑
有下面的關係:
球面被經過球心的平面截得的圓叫做大圓,被不經過球心的截面截得的圓叫做小圓。
在球面上,兩點之間的最短連線的長度,就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度,我們把這個弧長叫做兩點的球面距離

其他球形物體

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