有界

若存在兩個常數m和M，使函式y=f(x),x∈D 滿足m≤f(x)≤M,x∈D 。 則稱函式y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

基本介紹

• 中文名：有界
• 外文名：bounded
• 所屬領域：數學
• 相關概念：上界、下界、無界等

定義

定義1

設函式在數集上有定義，如果存在常數，使得對任意，有

則稱函式在數集上有界，否則稱為無界。

例如，函式在其定義域內有界，這是因為對任意，總有。

再如，函式在其定義域內是無界的，這是因為對任意的實數，總存在點，顯然，使得，然而，對任意實數，函式在定義域的子集上卻是有界的，這是因為對任意，總有，於是便可取實數．使得。

定義2

設函式在數集上有定義，如果存在常數，使得對任意，有

則稱函式在數集上有上界，並稱M為在A上的上界．如果存在常數m，使得對任意，有

則稱函式在數集上有下界，並稱m為在上的下界。

顯然，若在A上有界，則在A必有上、下界，反之，若在A上有上、下界，則在A上必有界。

由定義1可知，在集合A上有界函式的圖形在A上，應介於平行於x軸的兩條直線之間，如圖1所示。

圖1

注意點

關於函式的有界性．應注意以下兩點：

(1)函式在某區間上不是有界就是無界，二者必屬其一；

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界(見圖2)．如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間，那么函式一定是無界的，如。

圖2

例題解析

例1：討論下列函式的有界性：

(1)；

(2)．

解: (1)由於對一切，都有故在上是有界函式。

(2)根據的圖形(見圖3)容易看出，不論正數M多么大，不等式不可能對一切均成立，因此在上是無界函式。

但如果在區間上討論函式，因對一切，不等式成立，故在區間上是有界函式。

例2：

證明：函式是有界函式。

證明：的定義域為，又

因此是有界函式。