度量(數學概念)

提出

現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函式間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。

度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連線這兩點的線段的長度。

設

為一個非空集合，他的元素叫做點。R是全體實數的集，若函式

對於任意x,y,z∈X合乎條件：

（a）若

，則

，並

；（稱作正定性）

（b）

；（稱作對稱性）

（c）對於一切

，

則稱函式

為集合

上的一個距離函式或度量，d(x,y)為x與y之間的距離。賦予度量d的集合X稱為度量空間，記為(X,d)。n維歐幾里得空間Rⁿ按通常的度量構成度量空間。區間[0,1]上定義的連續實值函式的集合上賦予由

確定的度量也是度量空間。在任意非空集合X上定義d(x,x)=0，當x≠y時，d(x,y)=1，則(X,d)也是度量空間。當d滿足條件a的後半部分及b、c時，d稱為偽度量，賦予偽度量的集合X稱為偽度量空間。當d滿足條件a、c時，d稱為擬度量，賦予擬度量的集合X稱為擬度量空間。

在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。

直徑（diameter）是度量空間的基本概念之一。設M為度量空間(X,d)的子集，定義

則

稱為集合M的直徑。直徑為有限的集合稱為有界集。當整個空間X的直徑為有限（即

）時，稱X上的度量d為有界度量。

完備度量空間是一類重要的度量空間。設(X,d)是度量空間，{x_n}為X中的序列。若對於任意ε>0，存在n∈N，當 i,j≥n 時有

則稱{x_n}為柯西序列或基本序列。度量空間中每一收斂序列必為柯西序列；反之柯西序列未必收斂。若X中的任意柯西序列都收斂，則稱X為完備度量空間。歐幾里得空間和希爾伯特空間都是完備度量空間。