微分同胚

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。

基本介紹

• 中文名：微分同胚
• 外文名：diffeomorphism
• 簡稱：微分同胚
• 適用：適用於微分流形範疇的同構概念
• 相關術語：微分流形
• 套用學科：數學

定義

對給定的兩個微分流形，若對光滑映射，存在光滑映射使得、，則稱為微分同胚。此時逆映射是唯一的。

若在微分流形之間存在微分同胚映射，則稱與是微分同胚的。

對於流形，可采同樣辦法定義微分同胚之概念。

例子

考慮

此微分同胚可由下述映射給出：

與同胚的關係

對維度小於3的流形，可證明同胚的流形必為微分同胚；換言之，此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例，最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球，米爾諾更證明了七維球上恰有28種微分流形結構，它們都可表成某個在上的叢。在1980年代，西蒙·唐納森與麥可·哈特利·弗里德曼的證明在上有不可數個相異的微分結構。

擴展

在1926年，TiborRadó詢問，單位圓的任何同胚或異形的諧波延伸是否在開放光碟上產生了變形。 Hellmuth Kneser不久之後提供了一個優雅的證明。 1945年，Gustave Choquet顯然不知道這個結果，產生了完全不同的證據。

圓的（取向保留）分形組是路徑連通的。這可以通過注意到任何這樣的不同形式可以提升到滿足[f(x + 1)= f(x)+ 1]的令的diffeomorphism f;這個空間是凸的，因此是路徑連線的。一個平滑的，最終恆定的身份路徑給了第二個更加基本的方式，從圓形擴展到開放單位盤（亞歷山大技巧的特殊情況）。此外，圓的不同形狀組具有正交組O(2)的同倫型。

20世紀50年代和60年代，高維球體Sn-1的不同形貌的相應擴展問題得到了很多研究，其中有RenéThom，John Milnor和Stephen Smale的著作。這種延伸的阻礙由有限的阿貝爾組Γn（“扭轉球體組”）給出，其定義為由擴展到球Bn的不同形態的分類的不同形式組的阿貝爾組分組的商。