泊松過程

一種累計隨機事件發生次數的最基本的獨立增量過程。例如隨著時間增長累計某電話交換台收到的呼喚次數，就構成一個泊松過程。

泊松過程是由法國著名數學家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（1781—1840）證明的。 1943年C.帕爾姆在電話業務問題的研究中運用了這一過程，後來Α.Я.辛欽於50年代在服務系統的研究中又進一步發展了它。

基本介紹

• 中文名：泊松過程
• 外文名：possion process
• 提出者：泊松
• 定義：隨機事件發生次數的獨立增量過程
• 套用學科：統計學
• 套用：電話業務問題

定義

Poisson過程（Poisson process，大陸譯泊松過程、普阿松過程等，台譯卜瓦松過程、布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法國數學家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。我們說一個隨機過程N(t) 是一個時間齊次的一維泊松過程，如果它滿足以下條件：

在兩個互斥（不重疊）的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變數。

在區間內發生的事件的數目的機率分布為：

其中λ是一個正數，是固定的參數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定在時間區間之中事件發生的數目，則隨機變數呈現泊松分布，其參數為。

更一般地來說，一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間（例如：一個歐幾里得平面或三維的歐幾里得空間）中的每一個有界的區域，賦予一個隨機的事件數，使得

• 在一個時間區間或空間區域內的事件數，和另一個互斥（不重疊）的時間區間或空間區域內的事件數，這兩個隨機變數是獨立的。
• 在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變數，遵循泊松分布。（技術上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一個泊松分布的隨機變數。）

泊松過程是萊維過程（Lévy process）中最有名的過程之一。時間齊次的泊松過程也是時間齊次的連續時間Markov過程的例子。一個時間齊次、一維的泊松過程是一個純出生過程，是一個出生-死亡過程的最簡單例子。

泊松簡介

泊松，法國數學家，1781年6月21日生於法國盧瓦

雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒於法國索鎮。

法國著名數學家泊松

1798年入巴黎綜合理工科學校深造。在畢業時，因優秀的研究論文而被指定為講師。受到P.-S.拉普拉斯、J.-L.拉格朗日的賞識。1800年畢業後留校任教，1802年任副教授,1806年接替J.-B.-J.傅立葉任該校教授。1808年任法國經度局天文學家,1809年任巴黎理學院力學教授。1812年當選為巴黎科學院院士。

泊松的科學生涯開始於研究微分方程及其在擺的運動和聲學理論中的套用。他工作的特色是套用數學方法研究各類力學和物理問題，並由此得到數學上的發現。他對積分理論、行星運動理論、熱物理、彈性理論、電磁理論、位勢理論和機率論都有重要貢獻。

性質

考慮一個泊松過程，我們將第一個事件到達的時間記為T₁。此外，對於n>1，以T_n記在第n-1個事件與第n個事件之間用去的時間。序列{T_n,n=1,2,...}稱為到達間隔時間列。

• T_n(n=1,2,...)是獨立同分布的指數隨機變數，具有均值1/λ。

名詞解釋

泊松過程用數學語言說，滿足下列三條件的隨機過程X={X(t),t≥0}叫做泊松過程。

初級書中，泊松過程是定義在時間上的過程

①P(X(0)=0)=1。

②不相交區間上增量相互獨立，即對一切0≤t₁<t₂<…<t_n,X(t₁),X(t₂)-X(t₁）,…,X(t_n)-X(t_n-1）相互獨立。

③增量X(t)-X(s) (t>s）的機率分布為泊松分布，即，式中Λ（t）為非降非負函式。

④若X還滿足X(t)-X(s）的分布僅依賴於t-s，則稱X為齊次泊松過程；這時Λ（t)=λt，式中常數λ>0稱為過程的強度，因為EX(t)=Λ(t)=λt，λ等於單位時間內事件的平均發生次數。非齊次泊松過程可通過時間尺度的變換變為齊次泊松過程。

對泊松過程，通常可取它的每個樣本函式都是躍度為1的左（或右）連續階梯函式。可以證明，樣本函式具有這一性質的、隨機連續的獨立增量過程必是泊松過程，因而泊松過程是描寫隨機事件累計發生次數的基本數學模型之一。直觀上，只要隨機事件在不相交時間區間是獨立發生的，而且在充分小的區間上最多只發生一次，它們的累計次數就是一個泊松過程。在套用中很多場合都近似地滿足這些條件。例如某系統在時段[0,t）內產生故障的次數，一真空管在加熱t秒後陰極發射的電子總數，都可假定為泊松過程。

描述隨機事件累計發生次數的過程通常稱為計數過程（見點過程）。一個簡單而且局部有限的計數過程{X(t），t≥0}，往往也可以用它依次發生跳躍（即發生隨機事件）的時刻{Tn，n≥1}來規定，即取T0=0，Tn=inf{t:X(t）≥n}，n≥1，而當T_n<t≤T_n+1時，X（t）=n。若以，表示X(t）發生相鄰兩次跳躍的時間間距，則計數過程是齊次泊松過程的充分必要條件為{τn，n≥1}是相互獨立同分布的，且，其中λ為某一非負常數。齊次泊松過程的另一個特徵是：固定t,X(t）是參數為λt的泊松分布隨機變數，而當X(t)=k已知的條件下，X的k個跳躍時刻與 k個在[0,t）上均勻分布且相互獨立的隨機變數的次序統計量（見統計量）有相同的分布。泊松過程的這一特徵常作為構造多指標泊松過程的出發點。從馬爾可夫過程來看，齊次泊松過程是時間空間都為齊次的純生馬爾可夫鏈。從鞅來看，齊次泊松過程X是使{X(t)-λt,t≥0}為鞅的躍度為1的計數過程。

推廣

較泊松過程稍為廣泛的計數過程是更新過程，更新過程的跳躍時間間距是相互獨立同分布的，但不一定是指數分布。這類過程常被用來描寫某些設備的累計故障次數。若對跳躍時間間距不作任何假定，就成為一般的計數過程或稱一維點過程。假如某設備在[0,t)時段內故障的累計次數N(t）是泊松過程，而每次故障造成的耗損不盡相同，用隨機變數Yi表示第i次耗損，則在[0,t)內總的耗損為。當{N(t），t≥0}為齊次泊松過程，{Yi,i≥1}又是相互獨立同分布且與{N(t）}獨立時，X={X(t），t≥0}稱為複合泊松過程。由於{N(t),t≥0}可以用其跳躍時刻{T_i,i≥1}來規定，因而複合泊松過程可用{(T_n,Y_n),n≥1}來規定，即。若對{(T_n,Y_n),n≥1}的統計特性不作任何假定，這樣規定的X 便是一種一般地描述系統跳躍變化的隨機過程，常稱為標值點過程，也稱多變點過程或跳躍過程。

非齊次泊松過程

泊松過程除作為計數過程的一種重要數學模型外，又是眾多重要隨機過程的特例。獨立增量過程的萊維－伊藤分解表明，利用它還可構成一般的獨立增量過程，因而它在隨機過程中占有特殊地位，也有人把它與布朗運動一起稱之為隨機過程的基石。