泊松分布

泊松分布

Poisson分布,是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分布,由法國數學家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年時發表。

基本介紹

  • 中文名:泊松分布
  • 外文名:poisson distribution
  • 分類:數學
  • 時間:1838年
  • 台譯:卜瓦松分布
  • 提出:西莫恩·德尼·泊松
  • 期望E(x):λ
  • 方差D(x):λ
命名原因,分布特點,關係,套用場景,套用示例,推導,形式與性質,

命名原因

泊松分布(Poisson distribution),台譯卜瓦松分布(法語:loi de Poisson,英語:Poisson distribution,譯名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等),是一種統計與機率學裡常見到的離散機率分布(discrete probability distribution)。泊松分布是以18~19 世紀的法國數學家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)命名的,他在1838年時發表。這個分布在更早些時候由貝努里家族的一個人描述過。
泊松分布實例泊松分布實例

分布特點

泊松分布的機率函式為:
泊松分布的參數λ是單位時間(或單位面積)內隨機事件的平均發生次數。 泊松分布適合於描述單位時間內隨機事件發生的次數。
泊松分布的期望和方差均為
特徵函式為

關係

泊松分布與二項分布
當二項分布的n很大而p很小時,泊松分布可作為二項分布的近似,其中λ為np。通常當n≧20,p≦0.05時,就可以用泊松公式近似得計算。
泊松分布泊松分布
事實上,泊松分布正是由二項分布推導而來的,具體推導過程參見本詞條相關部分。

套用場景

在實際事例中,當一個隨機事件,例如某電話交換台收到的呼叫、來到某公共汽車站的乘客、某放射性物質發射出的粒子、顯微鏡下某區域中的白血球等等,以固定的平均瞬時速率λ(或稱密度)隨機且獨立地出現時,那么這個事件在單位時間(面積或體積)內出現的次數或個數就近似地服從泊松分布P(λ)。因此,泊松分布在管理科學、運籌學以及自然科學的某些問題中都占有重要的地位。(在早期學界認為人類行為是服從泊松分布,2005年在nature上發表的文章揭示了人類行為具有高度非均勻性。)

套用示例

泊松分布適合於描述單位時間(或空間)內隨機事件發生的次數。如某一服務設施在一定時間內到達的人數,電話交換機接到呼叫的次數,汽車站台的候客人數,機器出現的故障數,自然災害發生的次數,一塊產品上的缺陷數,顯微鏡下單位分區內的細菌分布數等等。
觀察事物平均發生m次的條件下,實際發生x次的機率P(x)可用下式表示:
例如採用0.05J/㎡紫外線照射大腸桿菌時,每個基因組(~4×10核苷酸對)平均產生3個嘧啶二體。實際上每個基因組二體的分布是服從泊松分布的,將取如下形式:
……
是未產生二體的菌的存在機率,實際上其值的5%與採用0.05J/㎡照射時的大腸桿菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修復又不能重組修復的二重突變)的生存率是一致的。由於該菌株每個基因組有一個二體就是致死量,因此
就意味著全部死亡的機率。

推導

泊松分布是最重要的離散分布之一,它多出現在當X表示在一定的時間或空間內出現的事件個數這種場合。在一定時間內某交通路口所發生的事故個數,是一個典型的例子。泊松分布的產生機制可以通過如下例子來解釋。
為方便記,設所觀察的這段時間為[0,1),取一個很大的自然數n,把時間段[0,1)分為等長的n段:
我們做如下兩個假定:
1. 在每段
內,恰發生一個事故的機率,近似的與這段時間的長
成正比,可設為
。當n很大時,
很小時,在
這么短暫的一段時間內,要發生兩次或者更多次事故是不可能的。因此在
這段時間內不發生事故的機率為
2.
各段是否發生事故是獨立的
把在[0,1)時段內發生的事故數X視作在n個劃分之後的小時段
內有事故的時段數,則按照上述兩個假定,X應服從二項分布
。於是,我們有
注意到當
取極限時,我們有
因此
從上述推導可以看出:泊松分布可作為二項分布的極限而得到。一般的說,若
,其中n很大,p很小,因而
不太大時,X的分布接近於泊松分布
。這個事實有時可將較難計算的二項分布轉化為泊松分布去計算。

形式與性質

階乘特點以及泰勒公式使得一類期望的計算十分簡便

相關詞條

熱門詞條

聯絡我們