隨機事件

隨機事件是在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重複試驗中具有某種規律性的事件叫做隨機事件(簡稱事件)。隨機事件通常用大寫英文字母A、B、C等表示。隨機試驗中的每一個可能出現的試驗結果稱為這個試驗的一個樣本點，記作ωi。全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即Ω={ω1，ω2，…，ωn，…}。僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件，含有多個樣本點的隨機事件稱為複合事件。

基本介紹

• 中文名：隨機事件
• 外文名：Random variables events
• 分類：數學
• 包括：基本事件 複合事件
• 特點：規律性
• 相關：樣本點

簡介

隨機事件是在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重複試驗中具有某種規律性的事件叫做隨機事件(簡稱事件)。隨機事件通常用大寫英文字母A、B、C等表示。隨機試驗中的每一個可能出現的試驗結果稱為這個試驗的一個樣本點，記作ωi。全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即Ω={ω1，ω2，…，ωn，…}。僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件，含有多個樣本點的隨機事件稱為複合事件。

定義

在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，“正面向上”是一個隨機事件，可用A={正面向上}表示。

隨機試驗中的每一個可能出現的試驗結果稱為這個試驗的一個樣本點，記作ωi。全體樣本點組成的集合稱為這個試驗的樣本空間，記作Ω．即Ω={ω1，ω2，…，ωn，…}。僅含一個樣本點的隨機事件稱為基本事件，含有多個樣本點的隨機事件稱為複合事件。

在隨機試驗中，隨機事件一般是由若干個基本事件組成的。樣本空間Ω的任一子集A稱為隨機事件。屬於事件A的樣本點出現，則稱事件A發生。

例如，在試驗E中，令A表示“出現奇數點”，A就是一個隨機事件，A還可以用樣本點的集合形式表示，即A={1，3，5}，它是樣本空間Ω的一個子集，在試驗W中，令B表示“燈泡的壽命大於1000小時”，B也是一個隨機事件，B也可用樣本點的集合形式表示，即B={t|t>1000}，B也是樣本空間的一個子集。

因此在理論上，我們稱試驗E所對應的樣本空間Ω的子集為E的一個隨機事件，簡稱事件。在一次試驗中，當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生。

樣本空間Ω的僅包含一個樣本點ω的單點子集{ω}也是一種隨機事件，這種事件稱為基本事件。

例如，在試驗A中{H}表示“正面朝上”，這是基本事；在試驗B中{3}表示“擲得3點”，這也是基本事件；在試驗C中{5}表示“測量的誤差是0.5”，這還是一個基本事件。

樣本空間Ω包含所有的樣本點，它是Ω自身的子集，在每次的試驗中它總是發生，稱為必然事件，必然事件仍記為Ω，空集∮不包含任何樣本點，它也作為樣本空間Ω的子集。在每次試驗中都不發生，稱為不可能事件，必然事件和不可能事件在不同的試驗中有不同的表達方式。

綜上所述，隨機事件可能有不同的表達方式：一種是直接用語言描述，同一事件可能有不同的描述；也可以用樣本空間子集的形式表示，此時，需要理解它所表達的實際含義，有利於對事件的理解。

特點

1.可以在相同的條件下重複進行；

2.每個試驗的可能結果不止一個，並且能事先預測試驗的所有可能結果；

3.進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現。

特殊事件

必然事件記作Ω，樣本空間Ω也是其自身的一個子集，Ω也是一個“隨機”事件，每次試驗中必定有Ω中的一個樣本點出現，必然發生。

不可能事件記作Φ，空集Φ也是樣本空間的一個子集，Φ也是一個特殊的“隨機”事件，不包含任何樣本點，不可能發生。

事件關係

事件A是事件B的子事件，事件A發生必然導致事件B發生，事件A的樣本點都是事件B的樣本點，記作A⊂B。

若A⊂B且B⊂A，那么A=B，稱A和B為相等事件，事件A與事件B含有相同的樣本點。

和事件發生，即事件A發生或事件B發生，事件A與事件B至少一個發生，由事件A與事件B所有樣本點組成，記作A∪B。

積事件發生，即事件A和事件B同時發生，由事件A與事件B的公共樣本點組成，記作AB或A∩B。

事件種類

互斥事件（互不相容事件）事件A與事件B，AB=Φ，事件A與事件B不能同時發生，事件A與事件B沒有公共的樣本點。

事件A的對立事件，事件A不發生，事件A的對立事件是由不屬於事件A的樣本點組成，記作ā。

差事件發生，即事件A發生且事件B不發生，是由屬於事件A但不屬於事件B的樣本點組成，記作A－B。

運算

（1）交換律：A∪B=B∪A、AB=BA

（2）結合律：( A∪B )∪C=A∪( B∪C )

（3）分配律：A∪( BC )=( A∪B )( A∪C )

A( B∪C )=( AB )∪( AC )

（4）摩根律：A B=A∪B、A ∪ B=A B

在隨機事件中，有許多事件，而這些事件之中又有聯繫，分析事件之間的關係，可以幫助我們更加深刻地認識隨機事件；給出的事件的運算及運算規律，有助於我們討論複雜事件。

既然事件可用集合來表示，那么事件的關係和運算自然應當按照集合論中集合之間的關係和集合的運算來處理。下面給出這些關係 和運算在機率論中的提法，並根據“事件發生”的含義，給它們的機率意義。

事件包含

設A，B為兩個事件，若A發生必然導致B發生，則稱事件B包含事件A，或稱事件A包含在事件B中，記作A⊂B。

顯然有：∮⊂A⊂Ω。

和事件（並事件）

稱事件“A、B中至少有一個發生”為事件A和事件B的和事件，也稱A與B的並，記作A∪B或A+B，A∪B發生意味著：或事件A發生，或事件B發生，或都發生。顯然有：

①A⊂A∪B，B⊂A∪B；

②若A⊂B，A∪B=B

積事件（交事件）

稱事件“A、B同時發生”為事件A與事件B的積事件，也稱A與B的交，記作A∩B，簡記為AB。事件AB發生意味著事件A發生且事件B也發生，也就是說A，B都發生。

顯然有：

①AB⊂A，AB⊂B

②若A⊂B，則AB=A

差事件

稱事件“A發生而B不發生”為事件A與事件B的差事件，記作A—B，

顯然有：

①A—B⊂A

②若A⊂B，則A—B=∮

注意在定義事件差的運算時，並未要求一定有B⊂A，也就是說，沒有包含關係B⊂A，照樣可作差運算A—B。互斥事件

若AB為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥。

對立事件

若AB為不可能事件，AB為1，則稱事件A與事件B互為對立事件。

舉例

某箱中有3個紅球和2個黑球，從中隨機摸出2個球，判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件?

(1)恰有1個紅球與全是紅球;

(2)至少有1個紅球與2個全是紅球;

(3)至少有1個紅球與全是黑球;

(4)至少有1個紅球與至少有1個黑球。

分析　判斷2個事件是否互斥，就要考查它們是否能同時發生，判斷2個事件是否對立，就要在2個事件互斥的前提下，考查它們是否必有1個發生。

(1)互斥不對立。

(2)不互斥。

(3)互斥且對立；

(4)不互斥。

與頻率的關係

1.頻率是機率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率穩定於機率。

2.頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定。

3.機率是一個確定的數，是客觀存在的，與每次試驗無關。