數列:由來,三角形數,正方形數,概念,函式解釋,一般形式,項,分類,公式,等差數列

數列（sequence of number）是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函式，是一列有序的數。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項，以此類推，排在第n位的數稱為這個數列的第n項，通常用a_n表示。

著名的數列有斐波那契數列，三角函式，卡特蘭數，楊輝三角等。

基本介紹

中文名：數列
外文名：sequence of number
領域：數學
表示：an
釋義：以正整數集為定義域的函式
數列的項：數列中的每一個數

由來,三角形數,正方形數,概念,函式解釋,一般形式,項,分類,公式,等差數列,定義,通項公式,等差中項,前n項和,性質,套用,等比數列,定義,等比中項,通項公式,前n項和,性質,套用,等和數列,

由來

三角形數

傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。比如，他們研究過：

由於這些數可以用如右圖所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數。

正方形數

類似地，

被稱為正方形數，因為這些數能夠表示成正方形。因此，按照一定順序排列的一列數稱為數列。

概念

函式解釋

數列的函式理解：

①數列是一種特殊的函式。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函式，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函式的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函式有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。

③函式不一定有解析式，同樣數列也並非都有通項公式。

一般形式

數列的一般形式可以寫成

簡記為{a_n}。

項

數列中的項必須是數，它可以是實數，也可以是複數。

用符號{a_n}表示數列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質上的區別：1.集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。

分類

（1）有窮數列和無窮數列：

項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）；

項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）。

（2）對於正項數列：（數列的各項都是正數的為正項數列）

1）從第2項起，每一項都大於它的前一項的數列叫做遞增數列；如：1，2，3，4，5，6，7；

2）從第2項起，每一項都小於它的前一項的數列叫做遞減數列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；

3）從第2項起，有些項大於它的前一項，有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列（搖擺數列）；

（3）周期數列：各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函式）；

（4）常數數列：各項相等的數列叫做常數數列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

公式

（1）通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式a_n=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式，如

。數列通項公式的特點：1）有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些數列沒有通項公式（如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

（2）遞推公式：如果數列{a_n}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。數列遞推公式特點：1）有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些數列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項公式。

等差數列

定義

一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。

通項公式

a_n=a₁+(n-1)d

其中，n=1時 a₁=S_1；n≥2時 a_n=S_n-S_n_-1。

a_n=kn+b(k,b為常數) 推導過程：a_n=dn+a₁-d 令d=k，a₁-d=b 則得到a_n=kn+b。

等差中項

由三個數a，A，b組成的等差數列堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。有關係：A=(a+b)÷2。

前n項和

倒序相加法推導前n項和公式：

S_n=a₁+a₂+a₃+·····+a_n=a₁+(a₁+d)+(a₁+2d)+······+[a₁+(n-1)d] ①

S_n=a_n+a_n-1+a_n-2+······+a₁=a_n+(a_n-d)+(a_n-2d)+······+[a_n-(n-1)d] ②

由①+②得2S_n=(a₁+a_n)+(a₁+a_n)+······+(a₁+a_n)（n個）=n(a₁+a_n)

∴S_n=n(a₁+a_n)÷2。

等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：

S_n=n(a₁+a_n)÷2=na₁+n(n-1)d÷2

S_n=dn²÷2+n(a₁-d÷2)

亦可得

a₁=2s_n÷n-a_n

a_n=2s_n÷n-a₁

有趣的是S_2n-1=(2n-1)a_n，S_2n+1=(2n+1)a_n+1

性質

（1）任意兩項a_m，a_n的關係為：a_n=a_m+(n-m)d，它可以看作等差數列廣義的通項公式。

（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2=…=a_k+a_n-k+1，k∈N^*。

（3）若m，n，p，q∈N^*，且m+n=p+q，則有a_m+a_n=a_p+a_q。

（4）對任意的k∈N^*，有S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k，…，Sn_k-S_(n-1)k…成等差數列。

套用

日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有a_n=m，a_m=n，則a_m+n=0。其於數學的中的套用，可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數有多少個，算法不止一種，這裡介紹用數列算令等差數列首項a₁=24（24為6的4倍），等差d=6；於是令a_n= 24+6(n-1)<=132 即可解出n=19。