子集

子集

子集是一個數學概念:如果集合A任意一個元素都是集合B的元素,那么集合A稱為集合B子集

符號語言:若∀aA,均aB,則AB。

基本介紹

  • 中文名:子集
  • 外文名:subset
  • 套用領域:數理科學
  • 套用類別:集合
  • 表示:∀a∈A,均有a∈B,則A⊆B
定義,性質,

定義

如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(任意aAaB),那么集合A稱為集合B子集,記為A⊆B或 BA,讀作“集合A包含於集合B”或集合B包含集合A”。
即:∀aAaB,則AB
如果集合AB的子集,且AB,即B中至少有一個元素不屬於A,那么A就是B真子集,可記作:AB
符號語言:若∀aA,均aB,且
x∈B使x∉A,則AB。
如概述圖中,集合A就是集合B的真子集。

性質

一、根據子集的定義,我們知道AA。也就是說,任何一個集合是它本身的子集
二、對於空集∅,我們規定∅⊆A空集是任何集合的子集
說明:若A=∅,則∅⊆A仍成立。
證明:給定任意集合A,要證明∅是A的子集。這要求給出所有∅的元素是A的元素;但是,∅沒有元素。對有經驗的數學家們來說,推論“∅沒有元素,所以∅的所有元素是A 的元素"是顯然的;但對初學者來說,有些麻煩。 因為∅沒有任何元素,如何使"這些元素"成為別的集合的元素? 換一種思維將有所幫助。
為了證明∅不是A的子集,必須找到一個元素,屬於∅,但不屬於A。 因為∅沒有元素,所以這是不可能的。因此∅一定是A的子集。
三、若A、B、C是集合,則:
自反性:A=A
反對稱性:若且唯若
時,
傳遞性:若
,則
這個命題說明:包含是一種偏序關係
四、
這個命題說明:對任意集合S,S的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數
五、: 對任意兩個集合 A 和 B,下列所有表述等價:
  • A ⊆ B
  • A ∩ B =A
  • A ∪ B = B
  • A−B=A (當A∩B=∅) ;A−B=C𝖠(A∩B)(當A∩B≠∅)
  • B′ ⊆ A′
這個命題說明:表述 "A ⊆ B " 和其他使用並集,交集和補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。
六、假設非空集合A中含有n個元素,則有:
  • A的子集個數為2n
  • A的真子集的個數為2n-1。
  • A的非空子集的個數為2n-1
  • A的非空真子集的個數為2n-2。

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