等差數列

等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列，常用A、P表示。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。通項公式為：an=a1+(n-1)*d。首項a1=1，公差d=2。前n項和公式為：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均屬於正整數。

基本介紹

• 中文名：等差數列
• 外文名：Arithmetic progression
• 學科：數學
• 屬性：數列
• 相關概念：公差
• 通項公式：an=a1+(n-1)*d

公式

定義式

對於數列{ }，若滿足：

則稱該數列為等差數列。其中，公差d為一常數，n為正整數。

通項公式

等差數列通項公式通過定義式疊加而來。

如果一個等差數列的首項為 ，公差為d，那么該等差數列第n項的表達式為：

已知前n項和公式求通項公式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

以上5道題求通項的綜合公式

已知通項公式求前n項和公式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

以上5題求和項的綜合公式

結論：我們可以把所有的方陣看成一個線性變換

1,2題的方陣記做D2

3,4題的方陣記做D3

5題的方陣記做D4

D2包含在D3中，D3包含在D4中

把所有的方陣記做Dn，Dn是可逆方陣Dn方陣十分容易構造（首先是一個上三角矩陣）

1. 方陣的主對角線是從1到n的正整數
2. 如果先不管方陣中的正負號
   a.第一行全是1
   b.從2行3列開始所有元素都遵守如下規律
   Dn(i,j)=Dn(i-1,j)+Dn(i-1,j-1)，就是說，除了第一排和主對角線的元素，所有元素的值都等於相鄰左邊元素的值加上相鄰左上角的值
3. 把主對角線看成一斜列，往方陣右上角看，都是一列正一列負

Dn還有如下特徵

1. 每一列的和為1
2. Dn逆矩陣每一列的和為1

記Dn的逆矩陣為Fn

附上MATLAB中的構造程式

function p=D(r)p=zeros(r,r);for m=1:r; p(1,m)=1;p(m,m)=m;endfor m=2:r-1;for n=m+1:r;p(m,n)=p(m,n-1)+p(m-1,n-1);endendfor m=2:2:r;for n=1:r-m+1;p(n,m+n-1)=-p(n,m+n-1);endendfunction p=F(r)p=zeros(r,r);for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k));for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2);endend

等差數列遵守 的形式，可規定，若b為數列的0項，則記為 ，k為數列的公差，記為d，y為通項公式，記為 ，則：

對應的求和數列為： ，其中 正整數。

求和公式

若一個等差數列的首項為 ，末項為 那么該等差數列和表達式為：

即（首項+末項）×項數÷2。

前n項和公式

注意：n是正整數（相當於n個等差中項之和）。等差數列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：上底為 首項，下底為 ，高為n。即： ，也可寫成：

求解兩個等差數列相乘的前n項和的公式:

推論

（1）從通項公式可以看出， 是n的一次函式(d≠0)或常數函式(d=0)， 排在一條直線上，由前n項和公式知， 是n的二次函式(d≠0)或一次函式 ，且常數項為0。

（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出

(類似： ， )

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有 ，

成等差數 列，等等。

若m+n=2p，則 。

證明： ;

因為m+n=p+q，所以 。

（4）其他推論：

① 和=（首項+末項）×項數÷2；

②項數=（末項-首項）÷公差+1；

③首項=2x和÷項數-末項或末項-公差×（項數-1）；

④末項=2x和÷項數-首項；

⑤末項=首項+（項數-1）×公差；

⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。

等差中項

等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半，但求等差中項不一定要知道頭尾兩項。等差數列中，等差中項一般設為 。當 成等差數列時， ，所以 為 的等差中項，且為數列的平均數。並且可以推知n+m=2×r，且任意兩項 的關係為： ，(類似 )，相當容易證明，它可以看作等差數列廣義的通項公式。

等差數列的套用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有 。則 。

其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何?書中的解法是：並初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。這相當於給出了 的求和公式。

基本性質

（1）數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = + 的形式(其中a、b為常數)。

（2）在等差數列中，當項數為 時， ；當項數為 時， 。

（3）若數列為等差數列，則 …仍然成等差數列，公差為 。

（4）若數列 均為等差數列，且前n項和分別是 ，則 = 。

（5）在等差數列中，S = a，S = b (n>m)，則S = (a－b)。

（6）記等差數列的前n項和為S。①若a >0，公差d<0，則當a ≥0且 +1≤0時，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，則當a ≤0且 +1≥0時，S 最小。

（7）若等差數列 ，則 。

等差數列的判定

（1） (d為常數、n ∈N*)或 ，n ∈N*，n ≥2，d是常數]等價於 成等差數列。

（2） 等價於 成等差數列。

（3） [k、b為常數,n∈N*]等價於 成等差數列。

（4） [A、B為常數，A不為0，n ∈N* ]等價於 為等差數列。

特殊性質

在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等於中間項的2倍,

即， 中。

例：數列：1，3，5，7，9，11中 ，即在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和。

數列：1，3，5，7，9中 。

即若項數為奇數，和等於中間項的2倍，另見，等差中項。

例題

在等差數列 中，

(1)已知 ， 求 與d；

(2)已知 ， 求 。

解答：