基本介紹
- 中文名：多元函式
- 外文名：function of several variables
- 定義：二元及以上的函式統稱為多元函式
- 三要素：定義域、對應規則、值域
- 背景：因變數的值依賴於幾個自變數
- 本質：是兩個集合間一種確定的對應關係
- 套用學科：數學
定義,多元函式定義,其他定義,三要素,定義域,對應規則,值域,背景,幾點說明,本質,
定義
多元函式定義
設D為一個非空的n 元有序數組的集合， f為某一確定的對應規則。
多元函式——二元函式z=f(x,y)的圖象當n=1時，為一元函式，記為y=f(x),x∈D；
當n=2時，為二元函式，記為z=f(x,y),(x,y)∈D，圖象如圖。
二元及以上的函式統稱為多元函式。
其他定義
設D是n維空間的一個點集，f為某一確定的對應法則。如果對於每個點P
，變數z按照對應法則f總有唯一確定的值和它對應，則稱z是變數x1,x2,…,xn的n元函式。記為
，其中 ，或z=f(P),P∈D。 若函式f的定義域D是實數集R的一個子集，即只依賴於一個自變數，就說f是一元函式。若函式f的定義域D是n個R的笛卡爾(R. Descartes)積R×R×…×R=
的子集,即依賴於n個獨立自變數，就說f是n元函式。
當n≥2時，n元函式泛稱為多元函式。
二元函式的定義域通常是由平面上的一條或幾條光滑曲線所圍成的平面區域，圍成區域的曲線稱為區域的邊界，包括邊界在內的區域稱為閉區域，否則稱為開區域。
三要素
定義域
集合
，稱為函式的定義域，也可以記為D(f)或
。
對應規則
對應規則（也稱對應關係、對應法則，對應規律），f可以用數學表達式（包括解析式）、圖象、表格等表示。
值域
對於
所對應的y值，記為
稱為當
時，函式
的函式值。
全體函式值的集合
稱為函式的值域，記為Z或Z(f)。
背景
但在許多實際問題中往往需要研究因變數與幾個自變數之間的關係，即因變數的值依賴於幾個自變數。
例如，某種商品的市場需求量不僅僅與其市場價格有關，而且與消費者的收入以及這種商品的其它代用品的價格等因素有關，即決定該商品需求量的因素不止一個而是多個。要全面研究這類問題，就需要引入多元函式的概念。
幾點說明
研究多元函式的思想方法
研究一元函式的思想方法是研究多元函式、尤其是二元函式的基礎。研究二元函式的思想方法又是研究多元函式的基礎。
多元函式性質
三種定義的異同
這裡分別給出了多元函式的三種定義。極限、導數即有序數組定義、n維空間定義和笛卡爾積定義。可以說前兩者是等價的。後者外延更廣泛。
本質
多元函式的本質是一種關係，是兩個集合間一種確定的對應關係。這兩個集合的元素可以是數；也可以是點、線、面、體；還可以是向量、矩陣等等。一個元素或多個元素對應的結果可以是唯一的元素，即單值的。也可以是多個元素，即多值的。
人們最常見的函式，以及目前我國中學數學教科書所說的“函式”，除有特別註明者外，實際上（全稱）是一元單值實變函式。
設點
,
，若對每一點 ，由某規則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U,
，則稱f為一個n元函式，G為定義域，U為值域。
基本初等函式及其圖像。冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式稱為基本初等函式。
①冪函式：
（μ≠0，μ為任意實數定義域：μ為正整數時為(－∞,+∞)，μ為負整數時是
(－∞,0)∪(0，+∞),μ=α(為整數)，當α是奇數時為(－∞,+∞)，當α是偶數時為(0,+∞),μ=p/q,p,q互素，作為複合函式進行討論。
②指數函式：
(a>0 ,a≠1)，定義域為( －∞,+∞)，值域為（0,+∞），a>0 時是嚴格單調增加的函式（ 即當x2>x1時，y2>y1）,0<a<1 時是嚴格單減函式。對任何a，圖像均過點(0,1)，注意 和y=log(x)的圖形關於y軸對稱。
③對數函式：
(a>0)， 稱a為底 ， 定義域為(0,+∞)，值域為(－∞,+∞) 。a>1 時是嚴格單調增加的，0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函式的圖形均過點(1,0)，對數函式與指數函式互為反函式 。
以10為底的對數稱為常用對數 ，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即自然對數，記作lnx。
④三角函式
