反三角函式

反三角函式

反三角函式是一種基本初等函式。它是反正弦arcsin x,反餘弦arccos x,反正切arctan x,反餘切arccot x,反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函式的統稱,各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切 ,反正割,反餘割為x的角。

它並不能狹義的理解為三角函式的反函式,是個多值函式。三角函式的反函式不是單值函式,因為它並不滿足一個自變數對應一個函式值的要求,其圖像與其原函式關於函式 y=x 對稱。歐拉提出反三角函式的概念,並且首先使用了“arc+函式名”的形式表示反三角函式。

基本介紹

  • 中文名:反三角函式
  • 外文名:Inverse trigonometric function
  • 分類:反正弦、反餘弦、反正切等
  • 函式等級:初等函式
  • 一級學科:數學、理學
  • 二級學科:平面三角
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簡介

反三角函式(inverse trigonometric function)是一類初等函式。指三角函式的反函式。由於基本三角函式具有周期性,所以反三角函式是多值函式。這種多值的反三角函式包括:反正弦函式、反餘弦函式、反正切函式、反餘切函式、反正割函式、反餘割函式,分別記為Arcsin x,Arccos x,Arctan x,Arccot x,Arcsec x,Arccsc x。但是,在實函式中一般只研究單值函式,只把定義在包含銳角的單調區間上的基本三角函式的反函式,稱為反三角函式,這是亦稱反圓函式。為了得到單值對應的反三角函式,人們把全體實數分成許多區間,使每個區間內的每個有定義的 y 值都只能有惟一確定的 x 值與之對應。為了使單值的反三角函式所確定區間具有代表性,常遵循如下條件:
1、為了保證函式與自變數之間的單值對應,確定的區間必須具有單調性;
2、函式在這個區間最好是連續的(這裡之所以說最好,是因為反正割和反餘割函式是尖端的);
3、為了使研究方便,常要求所選擇的區間包含0到π/2的角;
4、所確定的區間上的函式值域應與整函式的定義域相同。這樣確定的反三角函式就是單值的,為了與上面多值的反三角函式相區別,在記法上常將Arc中的A改記為a,例如單值的反正弦函式記為arcsin x。

分類

為限制反三角函式為單值函式,將反正弦函式的值y限在-π/2≤y≤π/2,將y作為反正弦函式的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函式y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函式y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反餘切函式y=arccot x的主值限在0<y<π。

反正弦函式

正弦函式y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函式,叫做反正弦函式。記作arcsinx,表示一個正弦值為x的角,該角的範圍在[-π/2,π/2]區間內。定義域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。

反餘弦函式

餘弦函式y=cos x在[0,π]上的反函式,叫做反餘弦函式。記作arccosx,表示一個餘弦值為x的角,該角的範圍在[0,π]區間內。定義域[-1,1] , 值域[0,π]。
綠的為y=arccos(x) 紅的為y=arcsin(x)綠的為y=arccos(x) 紅的為y=arcsin(x)

反正切函式

正切函式y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函式,叫做反正切函式。記作arctanx,表示一個正切值為x的角,該角的範圍在(-π/2,π/2)區間內。定義域R,值域(-π/2,π/2)。

反餘切函式

餘切函式y=cot x在(0,π)上的反函式,叫做反餘切函式。記作arccotx,表示一個餘切值為x的角,該角的範圍在(0,π)區間內。定義域R,值域(0,π)。
綠的為y=arccot(x) 紅的為y=arctan(x)綠的為y=arccot(x) 紅的為y=arctan(x)

反正割函式

正割函式y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函式,叫做反正割函式。記作arcsecx,表示一個正割值為x的角,該角的範圍在[0,π/2)U(π/2,π]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。
反正割函式反正割函式

反餘割函式

餘割函式y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函式,叫做反餘割函式。記作arccscx,表示一個餘割值為x的角,該角的範圍在[-π/2,0)U(0,π/2]區間內。定義域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

公式

餘角關係

負數關係

倒數關係

三角函式關係

加減法公式

(1)arcsinx+arcsiny
(2)arcsinx-arcsiny
(3)arccosx+arccosy
(4)arccosx-arccosy
(5)arctanx+arctany
(6)arctanx-arctany
(7)arccotx+arccoty

級數定義

導數

不定積分

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