單調有界定理

單調有界定理

單調有界定理:若數列{an}遞增有上界(遞減有下界),則數列{an}收斂,即單調有界數列必有極限。具體來說,如果一個數列單調遞增且有上界,或單調遞減且有下界,則該數列收斂。

基本介紹

  • 中文名:單調有界定理
  • 外文名:monotone convergence theorem
  • 數列{an}:遞增(遞減)
  • :上界(下界)
  • :數列{an}收斂
相關概念,單調性,有界性,定理,證明,套用,注意事項,

相關概念

單調性

對任一數列{xn},如果從某一項xk開始,滿足
則稱數列(從第k項開始)是單調遞增的。特別地,如果上式全部取小於號,則稱數列是嚴格單調遞增的。
同樣地,如果從某一項k開始,滿足
則稱數列(從第k項開始)是單調遞減的。特別地,如果上式全部取大於號,則稱數列是嚴格單調遞減的。
單調遞增數列和單調遞減數列統稱單調數列。

有界性

對任一數列{xn},如果存在某個實數A使不等式
恆成立,則稱實數A是數列的一個下界;同樣地,如果存在某個實數B使不等式
恆成立,則稱實數B是數列的一個上界
如果一個數列既有上界又有下界,則稱這個數列是有界的。此時,存在一個正數M,使不等式
成立。
根據數列有界的定義可知,如果一個數列有界,那么它一定有上界和下界。反過來,如果一個數列只有上界或只有下界,則不能得出數列有界的結論。

定理

單調有界數列必有極限
這個性質是實數連續性的一個體現,可以用實數連續性公理對其進行證明。

證明

設數列{xn}單調遞增且有上界,接下來用戴德金定理證明{xn}必有極限。
分類討論,如果{xn}從第N項開始所有的項都相等(即數列有無窮多個相等的項),那么由於數列是單調遞增的,當n>N時,有xn=xN,因此對
。即{xn}收斂到xN
如果{xn}中只有有限項相等,即數列從某項開始嚴格單調遞增,那么因為{xn}有上界,可取所有{xn}的上界組成一個數集B,並取A=R/B。則:
①由取法可知數集B非空,而{xn}為嚴格單調遞增數列,故
。∴
③∵A中任何元素都不是{xn}的上界,∴
又∵B中任何元素都是{xn}的上界,∴
故必有
∴由戴德金定理可知,存在唯一實數η,使得η要么是A中的最大值,要么是B中的最小值。
但無論是哪種情況,
④由數集A的意義可知,
。而數列單調遞增,故當
時,
⑤由數集B的意義可知,當
時,
綜合④⑤可知,當
時,
,即{xn}有極限。
同理可證:若數列{xn}單調遞減且有下界,則{xn}必有極限。

套用

在一般的教科書中,單調有界定理是通過確界原理來證明的,即通過確界原理知道{xn}有上(下)確界α,再證明{xn}收斂於α。事實上,單調有界定理與確界原理等價,既可以由確界原理得到單調有界定理,也可以由單調有界定理得到確界原理。以下是其證法。
問題:試通過單調有界定理證明確界原理。
解:不妨設數集S非空有上界,將所有不小於S中的任一元素的有理數排成一個數列{rn},並令{xn}=min{r1,r2,r3...rn}。為更直觀理解{xn},舉例如下:
設S=[1,2]。第一次,取r1=3,則x1=min{3}=3。第二次,取r2=5,則x2=min{3,5}=3。第三次,取r3=2.5,則x3=min{3,5,2.5}=2.5。第四次,取r4=2.2,則x4=min{3,5,2.5,2.2}=2.2……以此類推。顯然{xn}單調遞減並且有下界(S中任何元素都是{xn}的下界),因此{xn}收斂。設極限為η,並且由上述構造可知,η≤xn≤rn
利用反證法,
①若η不是S的上界,即存在p∈S,使p>η。取
,根據極限的幾何意義,存在正整數N,使不等式η<xN<η+ε成立。而
,從而xN<p。這與xN不小於S中的任一元素矛盾。
②任取a>0,若對任意k∈S,都有k≤η-a,根據有理數的稠密性(即任何兩個不相等的實數之間必定存在有理數),存在有理數r,使不等式k≤η-a<r<η成立。因為我們把所有不小於S中的任一元素的有理數排成了一個數列{rn},r∈{rn}。這樣一來,就得到η≤r,矛盾。
所以,η是S的上確界。
補充:有理數的稠密性
有理數在實數中是稠密的,即任何兩個不相等的實數之間總存在有理數。(實際上任何兩個不相等的實數之間不僅存在有理數,而且還存在無理數。在這裡暫時不對無理數作討論。)
用數學語言描述為:
,則存在
,滿足
證明:因
,由實數的阿基米德公理,存在正整數
,使
,或
。令
,它是一個有理數。再任取有理數
,則
。由阿基米德公理,存在自然數
,使
,即
。顯然
是有理數,並且對所有大於
的自然數
,都有
。取使不等式
成立的最小的自然數
(最小指的是
),則
為所求有理數。
如果不是這樣,即假設
,那么
。將該不等式的兩邊與
的兩邊相加,得
去括弧,整理即得
這與上面
矛盾。
這樣就證明了存在有理數
,使

注意事項

(1)單調有界定理只能用於證明數列極限的存在性,如何求極限需用其他方法;
(2)數列從某一項開始單調有界的話,結論依然成立,這是因為增加或去掉數列有限項不改變數列的極限。

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