基本介紹
- 中文名:阿基米德公理
- 外文名:archimedean axiom
- 別稱:阿基米德性質
- 命名者:奧地利數學家Otto Stolz
- 命名時間:1883年
- 套用學科:數學
描述,形式敘述,解釋,與實數的關係,歷史,證明,推論,其他解釋,舉例,
描述
阿基米德公理可表述為如下的現代記法: 對於任何實數x,存在自然數n有n>x。
形式敘述
解釋
簡單地說,阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句:
- 給出任何數,你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
- 給出任何正數,你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。
與實數的關係
假設對所有n,na<b(注意 na表示 n個a相加),令,則 b為S的上界(S上方有界,依實數完備性,必存在最小上界,令其為),於是有
得出也是S的一個上界,這與是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質,但阿基米德性推不出實數的完備性,因為有理數滿足阿基米德性,但並不是完備的。
歷史
其實在歷史上,首先是一個希臘數學家“歐多克索斯”首先公布的,早於阿基米德100年。阿基米德本人也在手稿中坦言了這一點,但是遵從傳統,一般稱之為“阿基米德公理(性質)”。
證明
顯然當x>y>0時,取N=1即可,故以下證明均假設y>x>0。
由於阿基米德性質與柯西收斂準則共同反映了實數的連續性,所以可以用實數的連續性公理——戴德金定理來證明二者。
其中柯西收斂準則的證明可參考相應詞條,以下只通過戴德金定理來證明阿基米德性質。
反證法:假設不存在這樣的正整數N,使Nx>y,即假設對一切正整數n,都有nx≤y。
根據上界的定義,y是數集{nx}的一個上界,這裡n=1、2、3、……。取{nx}的所有上界作為集合B,並把B在實數集R中的補集記為A,則:
①顯然y∈B,而0∈A,所以A、B都是非空數集——不空
②A∪B=R——不漏
③由取法可知,對B中的任一元素b,都有b≥nx。而因A中的元素都不是{nx}的上界,故對A中的任一元素a,在數集{nx}中存在某個數n0x,滿足a<n0x。因此得到結論:A中任一元素都小於B中任一元素——不亂
由戴德金定理得,存在唯一實數ξ,使ξ是A中最大值,或是B中最小值。
若ξ是B中的最小值,則根據數集B的定義,nx≤ξ。
若ξ是A中的最大值,則同樣可以得出nx≤ξ。否則,假設有某個n0x>ξ,那么n0x∈B。
∵n0+1>n0,x>0,由不等式的性質可知(n0+1)x>n0x
但由數集B的定義,數集B中的任何一個元素都不小於nx,這裡n=1、2、3、……而(n0+1)x∈{nx},所以屬於數集B的n0x也將不小於(n0+1)x,這樣一來便產生了矛盾。
∴無論是哪種情況,都有nx≤ξ,n=1、2、3、……
取 ,則
∴存在自然數 和 ,滿足
或
∵
而
∴有 ,矛盾
∴一定存在正整數N,使Nx>y成立,阿基米德性質得證。
推論
設a是任一正實數,則存在正整數n,使不等式a<n成立。
證明:
若0<a≤1,取n=2,則不等式成立。
若a>1,根據阿基米德性質,令a=y,1=x,則存在正整數n,使nx>y,即n>a。
該推論表示,自然數集N沒有上界,即不存在一個數大於所有的自然數。
其他解釋
歐幾里得的解釋:
任意給定兩個正實數a、b,必存在正整數n,使na>b。
幾何描述:在長短不同的兩條線段中,無論較長的線段怎樣長,較短的線段怎樣短,總可以在較長的線段上連續截取較短的線段,並且截到某一次以後,必出現下面兩種情況:
1:沒有剩餘;
2:得到一條短於較短線段的剩餘線段。
舉例
例1:
在一條直線上截取任意兩條線段A,B。都符合A+A+A+···+A=A·N>B
這就是“阿基米德公理”有時也叫阿基米德-歐多克斯公理,因為阿基米德把這個命題歸功於歐多克斯。其實,比歐多克斯更早些,我國古代《墨經》上已記載著“窮,或有前不容尺也”,指的正是這個意思。