數列極限

數列的極限問題是我們學習的一個比較重要的部分，同時，極限的理論也是高等數學的基礎之一。數列極限的問題作為微積分的基礎概念，其建立與產生對微積分的理論有著重要的意義。

基本介紹

• 中文名：數列極限
• 外文名：The limit of sequence
• 領域：數學
• 性質：數列的收斂性
• 套用：微積分

基本概念

數列

定義 若函式的定義域為全體正整數集合，則稱

為數列。因正整數集的元素可按由小到大的順序排列，故數列也可寫作

或可簡單地記為，其中稱為該數列的通項。

數列極限

定義設為數列，a為定數。若對任給的正數，總存在正整數N，使得當時有

則稱數列收斂於a，定數a稱為數列的極限，並記作

若數列沒有極限，則稱不收斂，或稱發散。

等價定義任給，若在(a-ε,a+ε)之外數列中的項至多只有有限個，則稱數列收斂於極限a。

幾何意義

當n>N時，所有的點xn都落在(a-ε，a+ε)內，只有有限個（至多只有N個）在其外,如右圖1

圖1

性質

唯一性 若數列 收斂，則它只有一個極限。

有界性 若數列 收斂，則 為有界數列，即存在正數 ，使得對一切正整數n有

保號性 若 (或 )，則對 (或 ),存在正數N，使得當 時，有 (或 )。

保不等式性 設 與 均為收斂數列。若存在正數 ，使得當 時有 ，則

迫斂性 設收斂數列 ， 都以a為極限，數列 滿足：

存在正數 ，當 時有 則數列 收斂，且

四則運算法則

若 與 為收斂數列，則 ， ， 也都是收斂數列，且有

若再假設 及 ，則 也是收斂數列，且有

存在的條件

單調有界定理在實數系中，單調有界數列必有極限。

緻密性定理 任何有界數列必有收斂的子列。

套用

（1）求極限

解：

（2）求極限

解：

因為

且

所以，由迫斂性可得